Эйнштейновская модель твердого тела: квантовые гармонические осцилляторы, теплоемкость, фононы. Простое решение проблемы теплоемкости в классической механике.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Модель кристаллического твердого тела
Model of a crystalline solid
Твердое тело Эйнштейна – это модель кристаллического твердого тела, содержащая большое количество независимых трехмерных квантовых гармонических осцилляторов с одинаковой частотой. В модели Дебая допущение об их независимости ослабляется. Хотя модель обеспечивает качественное соответствие экспериментальным данным, особенно в пределе высоких температур, эти колебания фактически являются фононами, или коллективными модами, вовлекающими множество атомов. Альберт Эйнштейн понимал, что определение частоты реальных колебаний будет сложной задачей, но, тем не менее, предложил эту теорию, поскольку она наглядно демонстрировала, что квантовая механика способна решить проблему удельной теплоемкости в классической механике.
The Einstein solid is a model of a crystalline solid that contains a large number of independent three dimensional quantum harmonic oscillators of the same frequency. The independence assumption is relaxed in the Debye model. While the model provides qualitative agreement with experimental data, especially for the high temperature limit, these oscillations are in fact phonons, or collective modes involving many atoms. Albert Einstein was aware that getting the frequency of the actual oscillations would be difficult, but he nevertheless proposed this theory because it was a particularly clear demonstration that quantum mechanics could solve the specific heat problem in classical mechanics.
Историческое влияние
Первоначальная теория, предложенная Эйнштейном в 1907 году, имеет большое историческое значение. Классическая механика требовала, чтобы теплоемкость твердых тел, предсказанная эмпирическим законом Дюлонг-Петти, была независима от температуры. Однако эксперименты при низких температурах показали, что теплоемкость изменяется, стремясь к нулю при абсолютном нуле. С повышением температуры удельная теплоемкость возрастает, пока при высоких температурах не приблизится к предсказанию Дюлонг-Петти. Впервые, используя предположение о квантовании Планка, теория Эйнштейна объяснила наблюдаемую экспериментальную зависимость. Наряду с фотоэффектом, это стало одним из важнейших доказательств необходимости квантования. Эйнштейн использовал уровни квантовомеханического осциллятора за много лет до развития современной квантовой механики.
The original theory proposed by Einstein in 1907 has great historical relevance. The heat capacity of solids as predicted by the empirical Dulong–Petit law was required by classical mechanics, the specific heat of solids should be independent of temperature. But experiments at low temperatures showed that the heat capacity changes, going to zero at absolute zero. As the temperature goes up, the specific heat goes up until it approaches the Dulong and Petit prediction at high temperature. By employing Planck's quantization assumption, Einstein's theory accounted for the observed experimental trend for the first time. Together with the photoelectric effect, this became one of the most important pieces of evidence for the need of quantization. Einstein used the levels of the quantum mechanical oscillator many years before the advent of modern quantum mechanics.
Тепловая емкость
Для термодинамического подхода теплоёмкость может быть выведена с использованием различных статистических ансамблей. Все решения эквивалентны в термодинамическом пределе.
For a thermodynamic approach, the heat capacity can be derived using different statistical ensembles. All solutions are equivalent at the thermodynamic limit.
Ограничения и последующая модель
В модели Эйнштейна удельное тепло экспоненциально быстро стремится к нулю при низких температурах. Это происходит потому, что все колебания имеют одну и ту же частоту. Правильное поведение достигается квантованием нормальных мод твердого тела аналогично предложению Эйнштейна. В этом случае частоты волн различны, и удельное тепло стремится к нулю по степенному закону, что соответствует экспериментальным данным. Эта модификация называется моделью Дебая, которая была предложена в 1912 году.
In Einstein's model, the specific heat approaches zero exponentially fast at low temperatures. This is because all the oscillations have one common frequency. The correct behavior is found by quantizing the normal modes of the solid in the same way that Einstein suggested. Then the frequencies of the waves are not all the same, and the specific heat goes to zero as a power law, which matches experiment. This modification is called the Debye model, which appeared in 1912.