Введение

Логический парадокс. Логическая проблема Льюиса Кэрролла, связанная с условными высказываниями.

Парадокс парикмахерской был предложен Льюисом Кэрролом в трехстраничном эссе под названием «Логический парадокс», опубликованном в июльском выпуске журнала Mind за 1894 год. Название происходит от «декоративной» короткой истории, которую Кэрролл использует в статье для иллюстрации парадокса. Ранее он существовал в нескольких альтернативных формах в его произведениях и переписке, не всегда связанный с парикмахерской. Кэрролл описал его как иллюстрацию «действительной трудности в теории условных высказываний». С точки зрения современной логики, это рассматривается скорее как простая логическая ошибка, чем как парадокс. В настоящее время он представляет интерес главным образом как эпизод в развитии алгебраических методов логики, когда они были недостаточно хорошо поняты (даже среди логиков), хотя проблема продолжает обсуждаться в связи с теориями импликации и модальной логикой.

Происхождение

Парадокс возник из-за разногласий между Кэрроллом и его коллегой из Оксфорда, профессором логики Уикхэма Джоном Куком Уилсоном, между которыми существовала давняя вражда. Эта проблема также обсуждалась с другими, с которыми Кэрролл поддерживал переписку, и была рассмотрена в более поздних статьях, опубликованных, в частности, Джоном Венном, Альфредом Сиджвиком и Бертраном Расселом. Точка зрения Кука Уилсона отражена в рассказе в образе дяди Джо, который пытается доказать, что Карр всегда должен оставаться в лавке. Такого же мнения придерживались и другие, когда Кэрролл распространял свои частные издания этой задачи. Как заметил Кэрролл, "я переписываюсь примерно с дюжиной логиков по этому странному вопросу; и пока мнения относительно свободы Карра разделяются поровну".

Обсуждение

В современной логической теории этот сценарий не является парадоксом. Закон импликации примиряет кажущиеся несовместимыми утверждения дяди Джо. Этот закон утверждает, что "если X, то Y" логически эквивалентно "X ложно или Y истинно" (¬X ∨ Y). Например, для утверждения "если вы нажмете кнопку, то загорится свет", всегда должно быть верно, что либо вы не нажали кнопку, либо свет горит. Короче говоря, дело не в том, что ¬C приводит к противоречию, а лишь в том, что оно влечет за собой A, поскольку именно ¬A фактически порождает противоречие. В данном сценарии это означает, что Карр не обязан присутствовать, но если его нет, то Аллен должен присутствовать.

Показывая совместимые условности

Два условных высказывания не являются логическими противоположностями: чтобы доказать от противного, Джиму нужно было показать ¬C ⇒ (Z ∧ ¬Z), где Z как раз является условным высказыванием. Противоположность (A ⇒ B) – это ¬(A ⇒ B), которое, используя закон Де Моргана, сводится к (A ∧ ¬B), что вовсе не одно и то же с (¬A ∨ ¬B), к чему сводится A ⇒ ¬B. Эта путаница относительно "совместимости" этих двух условных высказываний была предвидена Кэрроллом, который упоминает об этом в конце рассказа. Он пытается прояснить этот вопрос, утверждая, что протазис и аподозис в импликации "Если Карр в…" "неправильно разделены". Однако применение закона импликации полностью исключает "Если" (сводя к дизъюнкциям), поэтому ни протазиса, ни аподозиса не существует, и контр-аргумент не требуется.