Введение

Сферический треугольник, который можно использовать для мощения сферы.

В геометрии треугольник Шварца, названный в честь Германна Шварца, — это сферический треугольник, который можно использовать для мощения сферы (сферическое мощение), возможно, с перекрытиями, посредством отражений относительно его сторон. Они были классифицированы в… Их можно определить в более общем виде как разбиения сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости. Каждый треугольник Шварца на сфере определяет конечную группу, а на евклидовой или гиперболической плоскости — бесконечную группу. Треугольник Шварца представляется тремя рациональными числами, каждое из которых соответствует углу при вершине. Значение означает, что угол вершины составляет от полукруга. "2" означает прямоугольный треугольник. Если эти числа — целые, треугольник называется треугольником Мёбиуса и соответствует неперекрывающемуся мощению, а группа симметрии называется треугольной группой. На сфере существует три треугольника Мёбиуса и одно параметрическое семейство; на плоскости — три треугольника Мёбиуса, а в гиперболическом пространстве — трехпараметрическое семейство треугольников Мёбиуса и нет особых объектов.

Тесселяция треугольниками Шварца

В этом разделе будут рассмотрены разбиения гиперболической верхней полуплоскости треугольниками Шварца с использованием элементарных методов. Для треугольников без "куспов" – углов, равных нулю, или, эквивалентно, вершин на вещественной оси – будет следовать элементарный подход, предложенный в работе . Для треугольников с одним или двумя куспов будут использованы элементарные аргументы из работы , упрощающие подход, представленный в работе : в случае треугольника Шварца с одним углом, равным нулю, и другим – прямым, ориентированно-сохраняющая подгруппа группы отражений треугольника является группой Гекке. Для идеального треугольника, в котором все углы равны нулю, так что все вершины лежат на вещественной оси, существование разбиения будет установлено путем установления связи с рядом Фарея, описанным в работах и . В этом случае разбиение можно рассматривать как связанное с тремя касающимися окружностями на сфере Римана, как предельный случай конфигураций, связанных с тремя непересекающимися и не вложенными окружностями и их группами отражений, так называемыми "группами Шоттки", подробно описанными в работе . Альтернативно – разделяя идеальный треугольник на шесть треугольников с углами 0, π/2 и π/3 – разбиение идеальными треугольниками можно понять с точки зрения разбиений треугольниками с одним или двумя куспов.

Подход Сигеля

В этом подразделе изложен подход Карла Людвига Зигеля к теореме о мощении для треугольников. Менее элементарный подход Зигеля не использует выпуклость, а опирается на теорию римановых поверхностей, покрывающих пространств и версию теоремы монодромии для покрытий. Он был обобщен для получения доказательств более общей теоремы о многоугольниках Пуанкаре. (Обратите внимание, что частный случай мощения правильными n-угольниками с внутренними углами 2/n является непосредственным следствием мощения треугольниками Шварца с углами /n, /n и /2.) Пусть Γ будет свободным произведением Z2 ∗ Z2 ∗ Z2. Если Δ = ABC — треугольник Шварца с углами /a, /b и /c, где a, b, c ≥ 2, то существует естественное отображение Γ на группу, порожденную отражениями относительно сторон Δ. Элементы Γ описываются произведением трех образующих, при этом никакие два соседних образующих не равны. В вершинах A, B и C произведение отражений в сторонах, встречающихся в вершине, определяет вращения на углы 2/a, 2/b и 2/c; пусть gA, gB и gC — соответствующие произведения образующих Γ = Z2 ∗ Z2 ∗ Z2. Пусть Γ0 — нормальная подгруппа индекса 2 в Γ, состоящая из элементов, являющихся произведением четного числа образующих, и пусть Γ1 — нормальная подгруппа Γ, порожденная (gA)a, (gB)b и (gC)c. Они тривиально действуют на Δ. Пусть = Γ/Γ1 и 0 = Γ0/Γ1. Непрерывное объединение копий, индексированных элементами из с отождествлением ребер, имеет естественную структуру римановой поверхности Σ. Внутри треугольника существует очевидная диаграмма координат. В качестве точки внутренней части ребра диаграмма координат получается отражением треугольника относительно этого ребра. В вершине треугольника с внутренним углом /n диаграмма координат получается из 2n копий треугольника, полученных последовательными отражениями относительно этой вершины. Группа действует преобразованиями настила Σ, при этом элементы из 0 действуют как голоморфные отображения, а элементы, не входящие в 0, — как антиголоморфные отображения. Существует естественное отображение P из Σ в гиперболическую плоскость. Внутренность треугольника с меткой g в отображается на g(Δ), ребра отображаются на ребра, а вершины — на вершины. Также легко проверить, что окрестность внутренней точки ребра отображается в окрестность ее образа, и аналогично для вершин. Таким образом, P является локальным гомеоморфизмом и, следовательно, отображает открытые множества в открытые множества. Образ P(Σ), то есть объединение преобразований g , является открытым подмножеством верхней полуплоскости. С другой стороны, это множество также замкнуто. Действительно, если точка достаточно близка к , она должна принадлежать какому-то преобразованию. Действительно, окрестность каждой вершины заполнена отражениями, и если точка находится вне этих трех окрестностей, но все еще близка к , она должна лежать на трех отражениях в ее сторонах. Таким образом, существует δ > 0, такое что если z находится на расстоянии меньше δ от , то z принадлежит преобразованию из . Поскольку гиперболическое расстояние инвариантно, следует, что если z находится на расстоянии меньше δ от Γ, то оно фактически находится в Γ, поэтому это объединение замкнуто. В силу связности следует, что P(Σ) — вся верхняя полуплоскость. С другой стороны, P — локальный гомеоморфизм, то есть покрывающее отображение. Поскольку верхняя полуплоскость просто связна, следует, что P — взаимно однозначно, и, следовательно, преобразования Δ мостят верхнюю полуплоскость. Это является следствием следующей версии теоремы монодромии для покрытий римановых поверхностей: если Q — покрывающее отображение между римановыми поверхностями Σ1 и Σ2, то любой путь в Σ2 можно поднять на путь в Σ1, и любые два гомотопных пути с одинаковыми конечными точками поднимаются на гомотопные пути с одинаковыми конечными точками; непосредственным следствием является то, что если Σ2 просто связна, то Q должно быть гомеоморфизмом. Чтобы применить это, пусть Σ1 = Σ, пусть Σ2 — верхняя полуплоскость, и пусть Q = P. По следствию теоремы монодромии, P должно быть взаимно однозначным. Также следует, что g(Δ) = Δ тогда и только тогда, когда g принадлежит Γ1, так что гомоморфизм 0 в группу Мебиуса является верным.

Подход Маскита, де Рама и Бердона

дал общее доказательство теоремы Понкаре о многоугольниках в гиперболическом пространстве; аналогичное доказательство было приведено в [название работы]. Применив это к гиперболической плоскости и треугольникам Шварца, можно предложить современный подход к установлению существования мозаик из треугольников Шварца, как описано в [название работы] и [название работы]. Швейцарские математики [имена математиков] и Хефлигер представили вводное изложение, отправной точкой которого является геометрическая теория групп.