Введение
В математике (особенно в теории категорий) мультикатегория — это обобщение понятия категории, допускающее морфизмы с различным числом аргументов. Если морфизмы в категории можно рассматривать как аналоги функций, то морфизмы в мультикатегории аналогичны функциям нескольких переменных. Мультикатегории также иногда называют операдами или раскрашенными операдами.
Примеры
Существует многокатегория, объектами которой являются (малые) множества, где морфизм из множеств X1, X2, …, и Xn в множество Y является n-арной функцией, то есть функцией из декартова произведения X1 × X2 × … × Xn в Y. Существует многокатегория, объектами которой являются векторные пространства (например, над рациональными числами), где морфизм из векторных пространств X1, X2, …, и Xn в векторное пространство Y является мультилинейным оператором, то есть линейным преобразованием из тензорного произведения X1 ⊗ X2 ⊗ … ⊗ Xn в Y. В более общем случае, для любой моноидальной категории C, существует многокатегория, объектами которой являются объекты C, где морфизм из объектов C X1, X2, …, и Xn в объект C Y является C-морфизмом из моноидального произведения X1, X2, …, и Xn в Y. Операда – это многокатегория с единственным объектом; за исключением вырожденных случаев, такая многокатегория не возникает из моноидальной категории. Примеры многопорядков включают в себя точечные мультимножества, целочисленные разбиения и комбинаторные разделения. Треугольники (или композиции) любого многопорядка являются морфизмами (не обязательно ассоциативной) категории стягиваний и комкатегории разложений. Категория стягиваний для многопорядка мультиминимальных разбиений является самой простой известной категорией мультимножеств.
that is a function from the Cartesian product X1 × X2 × × Xn to Y. There is a multicategory whose objects are vector spaces (over the rational numbers, say), where a morphism from the vector spaces X1, X2, , and Xn to the vector space Y is a multilinear operator, that is a linear transformation from the tensor product X1 ⊗ X2 ⊗ ⊗ Xn to Y. More generally, given any monoidal category C, there is a multicategory whose objects are objects of C, where a morphism from the C objects X1, X2, , and Xn to the C object Y is a C morphism from the monoidal product of X1, X2, , and Xn to Y. An operad is a multicategory with one unique object; except in degenerate cases, such a multicategory does not come from a monoidal category. Examples of multiorders include pointed multisets , integer partitions , and combinatory separations The triangles (or compositions) of any multiorder are morphisms of a (not necessarily associative) category of contractions and a comcategory of decompositions. The contraction category for the multiorder of multimin partitions is the simplest known category of multisets.
Приложения
Многокатегории часто ошибочно относят к теории высших категорий, поскольку их первоначальное применение было связано с наблюдением, что операторы и тождественные отображения, удовлетворяемые высшими категориями, являются объектами и мультистрелками многокатегории. Изучение n-категорий, в свою очередь, было мотивировано приложениями в алгебраической топологии и попытками описать гомотопическую теорию многомерных многообразий. Однако эта мотивация в значительной степени отошла на второй план, и сейчас n-категории также рассматриваются как часть чистой математики. Соответствие между стягиваниями и разложениями треугольников в многопорядке позволяет построить ассоциативную алгебру, называемую алгеброй инцидентности. Любой элемент, ненулевой на всех единичных стрелках, имеет композиционно обратный элемент, а функция Мёбиуса многопорядка определяется как композиционно обратный к функции дзета (постоянной единице) в его алгебре инцидентности.
История
Многокатегории впервые были введены под этим названием Джимом Ламбеком в работе «Дедуктивные системы и категории II» (1969). Он упоминает (с. 108), что ему сообщили, что многокатегории также изучались Жаном Бенабу и Пьером Картье, и действительно, Лейнстер полагает, что «сама идея могла прийти в голову любому, кто был знаком как с понятием категории, так и с понятием мультилинейного отображения».