Введение
Линии, пересекающиеся в одной точке
В геометрии линии в плоскости или пространстве более высоких измерений называются пересекающимися, если они пересекаются в одной точке. Множество всех линий, проходящих через точку, называется пучком, а их общая точка пересечения – вершиной пучка. В любом аффинном пространстве (включая евклидово пространство) множество линий, параллельных данной линии (имеющих одинаковую ориентацию), также называется пучком, а вершина каждого пучка параллельных линий является различной точкой на бесконечности; включение этих точек приводит к образованию проективного пространства, в котором каждая пара линий имеет точку пересечения.
Четырехсторонние
Две бимедианы четырехугольника (сегменты, соединяющие середины противоположных сторон) и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке, и все они делятся этой точкой пополам. Другие свойства пересечения в тангенциальном четырехугольнике приведены здесь. В циклическом четырехугольнике четыре отрезка, каждый из которых перпендикулярен одной стороне и проходит через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке. Эти отрезки называются мальтитудами, что является сокращением от "высота, опущенная из середины". Их общая точка называется антицентром. Выпуклый четырехугольник является экстангенциальным тогда и только тогда, когда шесть биссектрис углов пересекаются в одной точке: внутренние биссектрисы углов при двух противоположных вершинах, внешние биссектрисы углов при двух других вершинах и внешние биссектрисы углов, образованных пересечением продолжений противоположных сторон.
Шестиугольники
Если последовательные стороны циклического шестиугольника равны a, b, c, d, e, f, то три главные диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда шестиугольник имеет описанную конику. В этом случае, по теореме Брианшона, его главные диагонали пересекаются (как показано на изображении выше). Пересекающиеся линии возникают в двойственной теореме Паппа о шестиугольнике. Для каждой стороны циклического шестиугольника продолжите смежные стороны до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне. Тогда отрезки, соединяющие центры описанных окружностей противоположных треугольников, пересекаются в одной точке.
Регулярные многоугольники
Если правильный многоугольник имеет четное число сторон, то диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в центре многоугольника.
Круги
Перпендикулярные биссектрисы всех хорд окружности пересекаются в центре окружности. Прямые, перпендикулярные касательным к окружности в точках касания, пересекаются в центре. Все биссекторы площади и биссекторы периметра окружности являются диаметрами, и они пересекаются в центре окружности.
Эллипсы
Все биссектрисы площади и биссектрисы периметра эллипса пересекаются в центре эллипса.
Гиперболы
В гиперболе пересекаются в одной точке: (1) окружность, проходящая через фокусы гиперболы и с центром в центре гиперболы; (2) любая из касательных к гиперболе в вершинах; и (3) любая из асимптот гиперболы. Также пересекаются в одной точке: (1) окружность с центром в центре гиперболы, проходящая через вершины гиперболы; (2) любая из директрис; и (3) любая из асимптот.
Тетраэдры
В тетраэдре четыре медианы и три бимедианы пересекаются в одной точке, называемой центроидом тетраэдра. Изодинамический тетраэдр – это тетраэдр, в котором цевианы, соединяющие вершины с инцентрами противоположных граней, пересекаются в одной точке, а изогонический тетраэдр имеет цевианы, соединяющие вершины с точками касания противоположных граней с вписанной сферой тетраэдра, которые также пересекаются в одной точке. В ортоцентрическом тетраэдре четыре высоты пересекаются в одной точке.
Алгебра
Согласно теореме Руше — Капелли, система уравнений является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы (матрицы коэффициентов, дополненной столбцом свободных членов), и система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда этот общий ранг равен числу переменных. Таким образом, при наличии двух переменных, k прямых на плоскости, соответствующих набору из k уравнений, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов k × 2 и ранг расширенной матрицы k × 3 равны 2. В этом случае только два из k уравнений являются независимыми, и точка пересечения может быть найдена путем одновременного решения любых двух взаимно независимых уравнений относительно двух переменных.
Проективная геометрия
В проективной геометрии в двух измерениях свойство прохождения через одну точку является двойственным коллинеарности; в трех измерениях свойство прохождения через одну точку является двойственным сопланарности.