Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Разделение чего-либо на две равные или конгруэнтные части.
Division of something into two equal or congruent parts
В геометрии бисекция — это разделение чего-либо на две равные или конгруэнтные части (имеющие одинаковую форму и размер). Обычно это включает в себя биссектрису, линию, делящую что-либо пополам. Наиболее часто рассматриваемыми типами биссектрис являются биссектриса отрезка — линия, проходящая через середину данного отрезка, и биссектриса угла — линия, проходящая через вершину угла и делящая его на два равных угла. В трехмерном пространстве бисекция обычно выполняется биссектрирующей плоскостью, также называемой биссектором.
In geometry, bisection is the division of something into two equal or congruent parts (having the same shape and size). Usually it involves a bisecting line, also called a bisector. The most often considered types of bisectors are the segment bisector, a line that passes through the midpoint of a given segment, and the angle bisector, a line that passes through the apex of an angle (that divides it into two equal angles). In three dimensional space, bisection is usually done by a bisecting plane, also called the bisector.
Круговой биссектор
Бисектор угла делит угол на два угла с равными величинами. Угол имеет только один бисектор. Каждая точка бисектора угла равноудалена от сторон угла. "Внутренний" или "внутренний бисектор" угла – это прямая, полупрямая или отрезок, разделяющий угол, меньший 180°, на два равных угла. "Внешний" или "внешний бисектор" – это прямая, разделяющая смежный угол (180° минус исходный угол), образованный одной стороной исходного угла и продолжением другой стороны, на два равных угла. Чтобы разделить угол на две равные части с помощью линейки и циркуля, строят окружность, центром которой является вершина угла. Окружность пересекает угол в двух точках: по одной на каждой стороне. Используя каждую из этих точек как центр, строят два круга одинакового радиуса. Пересечение этих кругов (две точки) определяет прямую, являющуюся бисектором угла. Доказательство правильности этой конструкции достаточно интуитивно понятно и основано на симметрии задачи. Трисекция угла (деление его на три равные части) невозможна только с помощью циркуля и линейки (это было впервые доказано Пьером Вантцелем). Внутренний и внешний бисектор угла перпендикулярны. Если угол задан двумя прямыми в алгебраической форме как и , то внутренний и внешний бисектор задаются двумя уравнениями.
An angle bisector divides the angle into two angles with equal measures. An angle only has one bisector. Each point of an angle bisector is equidistant from the sides of the angle. The 'interior' or 'internal bisector' of an angle is the line, half line, or line segment that divides an angle of less than 180° into two equal angles. The 'exterior' or 'external bisector' is the line that divides the supplementary angle (of 180° minus the original angle), formed by one side forming the original angle and the extension of the other side, into two equal angles. To bisect an angle with straightedge and compass, one draws a circle whose center is the vertex. The circle meets the angle at two points: one on each leg. Using each of these points as a center, draw two circles of the same size. The intersection of the circles (two points) determines a line that is the angle bisector. The proof of the correctness of this construction is fairly intuitive, relying on the symmetry of the problem. The trisection of an angle (dividing it into three equal parts) cannot be achieved with the compass and ruler alone (this was first proved by Pierre Wantzel). The internal and external bisectors of an angle are perpendicular. If the angle is formed by the two lines given algebraically as and then the internal and external bisectors are given by the two equations
Целые треугольники
Существуют целочисленные треугольники с рациональным биссектором угла.
There exist integer triangles with a rational angle bisector.
Четырехсторонний
Внутренние биссекторы углов выпуклого четырехугольника либо образуют циклический четырехугольник (то есть четыре точки пересечения соседних биссекторов углов лежат на одной окружности), либо пересекаются в одной точке. В последнем случае четырехугольник является касательным четырехугольником.
The internal angle bisectors of a convex quadrilateral either form a cyclic quadrilateral (that is, the four intersection points of adjacent angle bisectors are concyclic), or they are concurrent. In the latter case the quadrilateral is a tangential quadrilateral.
Ромб
Каждая диагональ ромба делит противоположные углы пополам.
Each diagonal of a rhombus bisects opposite angles.
Четвероугольник с экс-тангенциальной стороны
Экцентр описанного около окружности четырехугольника лежит на пересечении шести бисекторов углов. Это внутренние бисекторы углов при двух противоположных вершинах, внешние бисекторы углов (биссектрисы смежных углов) при двух других вершинах, и внешние бисекторы углов, образованных пересечением продолжений противоположных сторон.
The excenter of an ex tangential quadrilateral lies at the intersection of six angle bisectors. These are the internal angle bisectors at two opposite vertex angles, the external angle bisectors (supplementary angle bisectors) at the other two vertex angles, and the external angle bisectors at the angles formed where the extensions of opposite sides intersect.
Парабола
Касательная к параболе в любой точке делит пополам угол между линией, соединяющей эту точку с фокусом, и линией, проходящей через эту точку и перпендикулярной к директрисе.
The tangent to a parabola at any point bisects the angle between the line joining the point to the focus and the line from the point and perpendicular to the directrix.
Медианы
Каждая из трех медиан треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, поэтому он делит эту сторону пополам (хотя и не обязательно перпендикулярно). Три медианы пересекаются в точке, называемой центроидом треугольника, который является его центром масс при равномерной плотности; следовательно, любая прямая, проходящая через центроид треугольника и одну из его вершин, делит противоположную сторону пополам. Центроид находится вдвое ближе к середине любой стороны, чем к противоположной вершине.
Each of the three medians of a triangle is a line segment going through one vertex and the midpoint of the opposite side, so it bisects that side (though not in general perpendicularly). The three medians intersect each other at a point which is called the centroid of the triangle, which is its center of mass if it has uniform density; thus any line through a triangle's centroid and one of its vertices bisects the opposite side. The centroid is twice as close to the midpoint of any one side as it is to the opposite vertex.
Треугольник
Существует бесконечное множество прямых, делящих площадь треугольника пополам. Три из них – медианы треугольника (соединяющие середины сторон с противоположными вершинами), и они пересекаются в центроиде треугольника; более того, они – единственные биссектрисы площади, проходящие через центроид. Три другие биссектрисы площади параллельны сторонам треугольника; каждая из них пересекает две другие стороны, разделяя их на отрезки в определенных пропорциях. Эти шесть прямых пересекаются по три в одной точке: помимо того, что три медианы пересекаются в одной точке, любая медиана пересекается с двумя биссектрисами площади, параллельными сторонам треугольника. Огибающая бесконечного множества биссектрис площади представляет собой дельтоид (в широком смысле – фигура с тремя вершинами, соединенными кривыми, вогнутыми наружу относительно дельтоида, в результате чего внутренние точки образуют невыпуклое множество).
There is an infinitude of lines that bisect the area of a triangle. Three of them are the medians of the triangle (which connect the sides' midpoints with the opposite vertices), and these are concurrent at the triangle's centroid; indeed, they are the only area bisectors that go through the centroid. Three other area bisectors are parallel to the triangle's sides; each of these intersects the other two sides so as to divide them into segments with the proportions These six lines are concurrent three at a time: in addition to the three medians being concurrent, any one median is concurrent with two of the side parallel area bisectors. The envelope of the infinitude of area bisectors is a deltoid (broadly defined as a figure with three vertices connected by curves that are concave to the exterior of the deltoid, making the interior points a non convex set).