Введение

Отношение между двумя линиями, которые пересекаются под прямым углом (90 градусов).

В геометрии два геометрических объекта называются перпендикулярными, если их пересечение образует прямые углы (углы, равные 90 градусам или π/2 радиана) в точке пересечения, называемой основанием. Условие перпендикулярности может быть графически представлено с помощью символа перпендикулярности ⟂. Перпендикулярные пересечения могут возникать между двумя линиями (или двумя отрезками), между линией и плоскостью и между двумя плоскостями. Перпендикулярность является частным случаем более общей математической концепции ортогональности; перпендикулярность – это ортогональность классических геометрических объектов. Таким образом, в продвинутой математике термин "перпендикулярный" иногда используется для описания гораздо более сложных условий ортогональности, например, между поверхностью и её нормальным вектором. Прямая считается перпендикулярной другой прямой, если эти две прямые пересекаются под прямым углом. В частности, первая прямая перпендикулярна второй, если (1) эти две прямые пересекаются; и (2) в точке пересечения прямой угол с одной стороны первой прямой разделяется второй прямой на два равных угла. Можно доказать, что перпендикулярность симметрична, то есть если первая прямая перпендикулярна второй, то и вторая прямая перпендикулярна первой. По этой причине мы можем говорить о двух прямых как о перпендикулярных (друг к другу) без указания порядка. Ярким примером перпендикулярности служит любой компас, обратите внимание на основные направления: Север, Восток, Юг, Запад (СЕВЮЗ). Прямая, соединяющая Север и Юг, перпендикулярна прямой, соединяющей Восток и Запад, а углы Север-Восток, Восток-Юг, Юг-Запад и Запад-Север равны 90° друг к другу. Перпендикулярность легко распространяется на отрезки и лучи. Например, отрезок перпендикулярен отрезку, если при продолжении каждого из них в обоих направлениях до бесконечной прямой, эти две полученные прямые будут перпендикулярны в вышеуказанном смысле. В символах, означает, что отрезок AB перпендикулярен отрезку CD. Прямая считается перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой в этой плоскости, которую она пересекает. Это определение зависит от определения перпендикулярности между прямыми. Две плоскости в пространстве считаются перпендикулярными, если двугранный угол между ними является прямым углом.

Наконечник перпендикуляра

Слово "основание" часто используется применительно к перпендикулярам. Это применение иллюстрируется верхней диаграммой, приведенной выше, и ее подписью. Диаграмма может быть ориентирована любым образом. Основание не обязательно должно находиться внизу. Более точно, пусть A – точка, а m – прямая. Если B – точка пересечения m и единственной прямой, проходящей через A и перпендикулярной m, то B называется основанием этого перпендикуляра, опущенного из точки A.

В отношении параллельных линий

Если две прямые (a и b) перпендикулярны третьей прямой (c), то все углы, образованные вдоль третьей прямой, являются прямыми углами. Следовательно, в евклидовой геометрии любые две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны друг другу в силу постулата о параллельности. Обратно, если одна прямая перпендикулярна второй прямой, то она также перпендикулярна любой прямой, параллельной этой второй прямой. На рисунке справа все оранжевые закрашенные углы равны между собой, а все зеленые закрашенные углы равны между собой, поскольку вертикальные углы равны, а накрест лежащие углы, образованные секущей, пересекающей параллельные прямые, равны. Поэтому, если прямые a и b параллельны, любой из следующих выводов влечет за собой все остальные:

Один из углов на диаграмме является прямым углом. Один из оранжевых закрашенных углов равен одному из зеленых закрашенных углов. Прямая c перпендикулярна прямой a. Прямая c перпендикулярна прямой b. Все четыре угла равны.

График функций

В двухмерной плоскости прямые углы образуются двумя пересекающимися прямыми, если произведение их угловых коэффициентов равно −1. Таким образом, для двух линейных функций f и g, графики этих функций будут перпендикулярны, если

Скалярное произведение векторов также может быть использовано для получения того же результата: Сначала сместите систему координат так, чтобы начало координат находилось в точке пересечения прямых. Затем определите два вектора смещения вдоль каждой прямой, и , для Теперь используйте тот факт, что скалярное произведение равно нулю для перпендикулярных векторов:

(если или равно нулю.) Оба доказательства применимы и к горизонтальным, и к вертикальным прямым, поскольку можно считать, что угловой коэффициент одной из них равен бесконечности, и рассматривать предел, когда один угловой коэффициент стремится к нулю, а другой – к бесконечности.

Круги

Каждый диаметр окружности перпендикулярен касательной к этой окружности в точке, где диаметр пересекает окружность. Линейный отрезок, проходящий через центр окружности и делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде. Если пересечение любых двух перпендикулярных хорд делит одну хорду на отрезки длиной a и b, а другую – на отрезки длиной c и d, то a² + b² + c² + d² равно квадрату диаметра. Сумма квадратов длин любых двух перпендикулярных хорд, пересекающихся в данной точке, одинакова для любых других двух перпендикулярных хорд, пересекающихся в той же точке, и выражается как 8r² – 4p² (где r – радиус окружности, а p – расстояние от центра окружности до точки пересечения). Теорема Фалеса утверждает, что две прямые, проходящие через одну и ту же точку на окружности и через противоположные концы диаметра, перпендикулярны. Это эквивалентно утверждению, что любой диаметр окружности опирается на прямой угол в любой точке окружности, кроме двух концов диаметра.

Эллипсы

Большая и малая оси эллипса перпендикулярны друг другу и касательным к эллипсу в точках пересечения осей с эллипсом. Большая ось эллипса перпендикулярна директрисе и каждой фокальной хорде.

Параболы

В параболе ось симметрии перпендикулярна каждой из прямой кишки, директрисе и касательной, проведенной в точке пересечения оси с параболой. Из точки на касательной к параболе к вершине параболы другая касательная к параболе перпендикулярна прямой, проходящей из этой точки через фокус параболы. Ортоптическое свойство параболы заключается в том, что если две касательные к параболе перпендикулярны друг другу, то они пересекаются на директрисе. Обратно, две касательные, пересекающиеся на директрисе, перпендикулярны. Это означает, что из любой точки на директрисе парабола видна под прямым углом.

Гиперболы

Поперечная ось гиперболы перпендикулярна сопряженной оси и каждой директрисе. Произведение перпендикулярных расстояний от точки P на гиперболе или на ее сопряженной гиперболе до асимптот является постоянной величиной, не зависящей от положения точки P.

У прямоугольной гиперболы асимптоты перпендикулярны друг другу. Ее эксцентриситет равен

Треугольники

Ноги прямоугольного треугольника перпендикулярны друг другу. Высоты треугольника перпендикулярны их соответствующим основаниям. Перпендикулярные биссектрисы сторон также играют важную роль в геометрии треугольника. Линия Эйлера равнобедренного треугольника перпендикулярна основанию треугольника. Теорема Дроза-Фарни касается свойства двух перпендикулярных прямых, пересекающихся в ортоцентре треугольника. Теорема Харкорта касается соотношения между отрезками прямых, проходящими через вершину и перпендикулярными любой касательной к вписанной окружности треугольника.

Четырехсторонние

В квадрате или другом прямоугольнике все пары смежных сторон перпендикулярны. Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая две пары взаимно перпендикулярных смежных сторон. Каждая из четырех мальтитуд четырехугольника – это перпендикуляр, опущенный из середины одной стороны на противоположную. Ортодиагональный четырехугольник – это четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. К ним относятся квадрат, ромб и дельтоид. По теореме Брахмагупты, в ортодиагональном четырехугольнике, являющемся также вписанным в окружность, прямая, проходящая через середину одной стороны и точку пересечения диагоналей, перпендикулярна противоположной стороне. По теореме ван Обеля, если на сторонах четырехугольника внешним образом построены квадраты, то отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, перпендикулярны и равны по длине.

Линии в трех измерениях

До трех прямых в трехмерном пространстве могут быть попарно перпендикулярны, как это демонстрируют оси x, y и z трехмерной декартовой системы координат.