Введение
Свойство геометрии, также используемое для обобщения понятия "расстояние" в метрических пространствах.
В математике неравенство треугольника утверждает, что для любого треугольника сумма длин любых двух сторон должна быть больше или равна длине оставшейся стороны. Это утверждение допускает включение вырожденных треугольников, но некоторые авторы, особенно те, кто пишет об элементарной геометрии, исключают эту возможность, тем самым исключая возможность равенства. Если x, y и z – длины сторон треугольника, причем ни одна сторона не больше z, то неравенство треугольника гласит, что
с равенством только в вырожденном случае треугольника с нулевой площадью. В евклидовой геометрии и некоторых других геометриях неравенство треугольника является теоремой о расстояниях и записывается с использованием векторов и векторных длин (норм):
где длина z третьей стороны заменена векторной суммой 'x' + 'y'. Когда 'x' и 'y' являются действительными числами, их можно рассматривать как векторы в , и неравенство треугольника выражает связь между абсолютными значениями. В евклидовой геометрии для прямоугольных треугольников неравенство треугольника является следствием теоремы Пифагора, а для общих треугольников – следствием закона косинусов, хотя его можно доказать и без этих теорем. Неравенство можно интуитивно представить в любом из двух случаев. На рисунке справа показаны три примера, начиная с явного неравенства (вверху) и приближающегося к равенству (внизу). В евклидовом случае равенство достигается только тогда, когда треугольник имеет угол в 180° и два угла в 0°, что делает три вершины коллинеарными, как показано в нижнем примере. Таким образом, в евклидовой геометрии кратчайшее расстояние между двумя точками – это прямая линия. В сферической геометрии кратчайшее расстояние между двумя точками – это дуга большого круга, но неравенство треугольника выполняется при условии, что расстояние между двумя точками на сфере определяется как длина малого сферического сегмента (то есть с центральным углом в ) с этими конечными точками. Неравенство треугольника является определяющим свойством норм и мер расстояния. Это свойство необходимо устанавливать как теорему для любой функции, предлагаемой для таких целей в каждом конкретном пространстве: например, для пространств, таких как действительные числа, евклидовы пространства, пространства Lp (p ≥ 1) и пространства с внутренним произведением.
Евклидова геометрия
Евклид доказал неравенство треугольника для расстояний в плоской геометрии, используя конструкцию, представленную на рисунке. Начиная с треугольника ABC, строится равнобедренный треугольник с одной стороной, равной , и другой равной ногой, расположенной на продолжении стороны . Затем доказывается, что угол β больше угла α, следовательно, сторона длиннее стороны . Однако:
таким образом, сумма длин сторон и больше длины . Это доказательство содержится в «Началах» Евклида, Книга 1, Предложение 20.
Обобщение на любой многоугольник
Треугольное неравенство может быть расширено математической индукцией на произвольные ломаные, показывая, что общая длина такой ломаной не меньше длины прямой, соединяющей её концы. Следовательно, длина любой стороны многоугольника всегда меньше суммы длин остальных сторон многоугольника.
Связь с кратчайшими путями
Это обобщение можно использовать для доказательства того, что кратчайшая кривая между двумя точками в евклидовой геометрии является прямой линией. Никакой ломаный путь между двумя точками не короче прямой, соединяющей их. Это подразумевает, что длина дуги любой кривой не может быть меньше расстояния между её конечными точками. По определению, длина дуги кривой – это точная верхняя грань длин всех полигональных аппроксимаций этой кривой. Результат для ломаных путей показывает, что прямая линия между конечными точками является кратчайшей из всех полигональных аппроксимаций. Поскольку длина дуги кривой больше или равна длине каждой полигональной аппроксимации, сама кривая не может быть короче прямой линии.
Обратная смена в пространстве Минковского
Метрика пространства Минковского не является положительно определенной, что означает, что значение выражения может быть как положительным, так и отрицательным, или равным нулю, даже если вектор x отличен от нуля. Более того, если x и y – векторы, подобны времени, лежащие в будущем световом конусе, то неравенство треугольника меняет знак:
Физическим примером этого является парадокс близнецов в специальной теории относительности. Та же обратная форма неравенства справедлива, если оба вектора лежат в прошлом световом конусе, а также если один или оба являются нулевыми векторами. Результат справедлив в n-мерном пространстве для любого n. Если плоскость, определяемая векторами x и y, является пространственноподобной (и, следовательно, евклидовым подпространством), то выполняется обычное неравенство треугольника.