Введение

Свойство всех треугольников на евклидовой плоскости – закон синусов в тригонометрии.

В тригонометрии закон синусов, также известный как теорема синусов, формула синусов или правило синусов, – это уравнение, связывающее длины сторон любого треугольника с синусами его углов. Согласно этому закону:

где a, b и c – длины сторон треугольника, а α, β и γ – противолежащие углы (см. рисунок 2), а R – радиус описанной окружности треугольника. Если последняя часть уравнения не используется, закон иногда формулируется с использованием обратных величин:

Закон синусов можно использовать для вычисления оставшихся сторон треугольника, когда известны два угла и одна сторона – метод, известный как триангуляция. Он также применим, когда известны две стороны и один из не прилежащих углов. В некоторых случаях треугольник не определяется однозначно по этим данным (так называемый неоднозначный случай), и метод даёт два возможных значения для прилежащего угла. Закон синусов – одно из двух тригонометрических уравнений, обычно применяемых для определения длин и углов в произвольных треугольниках, другое – закон косинусов. Закон синусов может быть обобщён на многомерные пространства на поверхностях с постоянной кривизной.

История

В книге "Восточная наука" Х. Дж. Дж. Вильсона говорится, что индийский математик Брахмагупта VII века описывает то, что мы теперь знаем как закон синусов, в своем астрономическом трактате "Брахмасфутасиддханта". В своем частичном переводе этой работы Кольбрук передает утверждение Брахмагупты о правиле синусов следующим образом: произведение двух сторон треугольника, деленное на удвоенную высоту, есть средняя линия; а удвоенное от этого – диаметр средней линии. Согласно Убиратану Д’Амброзио и Хелайн Селин, сферический закон синусов был открыт в X веке. Его авторство приписывают Абу Махмуду Ходжанди, Абу аль-Вафа Буджжани, Насиру ад-Дину ат-Туси и Абу Насру Мансуру. В книге Ибн Муадха аль-Джайяни "Книга об неизвестных дугах сферы", написанной в XI веке, содержится сферический закон синусов. Плоскостной закон синусов позднее был сформулирован в XIII веке Насиром ад-Дином ат-Туси. В своей работе "О фигуре сектора" он изложил закон синусов для плоских и сферических треугольников и предоставил доказательства этого закона. По словам Глена Ван Бруммелена, «Закон синусов фактически является основой для решений Региомонтана прямоугольных треугольников в Книге IV, а эти решения, в свою очередь, служат основой для решения общих треугольников». Региомонтанус был немецким математиком XV века.

Доказательство

При использовании стороны длиной a в качестве основания высота треугольника может быть вычислена как b sin γ или c sin β. Приравнивая эти два выражения, получим

и аналогичные уравнения возникают, если в качестве основания треугольника выбирать сторону длиной b или сторону длиной c.

Примеры

Ниже приведены примеры решения задач с помощью закона синусов.

Другие доказательства

Чисто алгебраическое доказательство может быть построено на основе сферического закона косинусов. Из тождества и явного выражения для из сферического закона косинусов, поскольку правая часть инвариантна относительно циклической перестановки , непосредственно следует сферическое правило синусов. Фигура, используемая в геометрическом доказательстве, представленном выше, также используется и приведена в работе Банерджи (см. рисунок 3 в этой статье) для вывода правила синусов с использованием элементарной линейной алгебры и матриц проекций.

Более высокие размеры

Тетраэдр имеет четыре треугольные грани. Абсолютное значение полярного синуса (psin) нормальных векторов к трем граням, имеющим общую вершину тетраэдра, деленное на площадь четвертой грани, не зависит от выбора вершины. В более общем случае, для n-мерного симплекса (т.е. треугольника (n=2), тетраэдра (n=3), пентатопа (n=4) и т.д.) в n-мерном евклидовом пространстве, абсолютное значение полярного синуса нормальных векторов граней, сходящихся в вершине, деленное на гиперплощадь грани, противоположной вершине, не зависит от выбора вершины. Обозначим V гиперобъем n-мерного симплекса, а P – произведение гиперплощадей его (n-1)-мерных граней, тогда общее соотношение равно…