Введение
Треугольник с углом 90 градусов
Прямоугольный треугольник, иногда называемый ортогональным или прямоугольным треугольником, – это треугольник, в котором две стороны перпендикулярны, образуя прямой угол (1/4 оборота или 90 градусов). Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона на рисунке). Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами (или катеты, в единственном числе: катет). Сторона может быть определена как сторона, прилегающая к углу и противоположная углу, а сторона – как сторона, прилегающая к углу и противоположная углу.
Каждый прямоугольный треугольник является половиной прямоугольника, разделенного по его диагонали. Если прямоугольник является квадратом, его прямоугольная половина равнобедренная, с двумя равными сторонами и двумя равными углами. Если прямоугольник не является квадратом, его прямоугольная половина является разносторонней. Любой треугольник, основание которого является диаметром окружности, а вершина лежит на окружности, является прямоугольным треугольником, с прямым углом в вершине и гипотенузой в качестве основания; и наоборот, описанная окружность любого прямоугольного треугольника имеет гипотенузу в качестве диаметра. Это теорема Фалеса. Катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника удовлетворяют теореме Пифагора: сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Если длины всех трех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, треугольник называется пифагоровым треугольником, а его длины сторон коллективно известны как пифагорова тройка. Связи между сторонами и углами прямоугольного треугольника предоставляют один из способов определения и понимания тригонометрии – изучения метрических соотношений между длинами и углами.
Характеристики
Треугольник со сторонами, полупериметром, площадью, высотой, опущенной на самую длинную сторону, радиусом описанной окружности, радиусом вписанной окружности, вневписанными радиусами, касающимися соответственно, и медианами является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно хотя бы одно из утверждений в следующих шести категориях. Следовательно, каждое из них также является свойством любого прямоугольного треугольника.
Высота и медианы
Ортоцентр лежит на описанной окружности. где φ — золотое сечение. Поскольку стороны этого прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию, это треугольник Кеплера.
Теорема Талеса
Теорема Фалеса утверждает, что если AB — диаметр окружности, а C — любая другая точка на окружности, то треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом при вершине C. Обратная теорема гласит, что гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром его описанной окружности. Как следствие, центр описанной окружности находится в середине диаметра, следовательно, медиана, проведённая из вершины прямого угла, является радиусом, а радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы.