Введение
Математическая модель для описания деформации материала под напряжением В механике континуума теория конечных деформаций, также называемая теорией больших деформаций, рассматривает деформации, при которых деформации и/или вращения достаточно велики, чтобы опровергнуть допущения, присущие теории бесконечно малых деформаций. В этом случае необработанная и деформированная конфигурации континуума существенно отличаются, что требует четкого различия между ними. Это обычно относится к эластомерам, пластически деформирующим материалам и другим жидкостям и биологическим мягким тканям.
In continuum mechanics, the finite strain theory—also called large strain theory, or large deformation theory—deals with deformations in which strains and/or rotations are large enough to invalidate assumptions inherent in infinitesimal strain theory. In this case, the undeformed and deformed configurations of the continuum are significantly different, requiring a clear distinction between them. This is commonly the case with elastomers, plastically deforming materials and other fluids and biological soft tissue.
Тензор градиента деформации
Тензор градиента деформации связан как с эталонной, так и с текущей конфигурацией, как видно из единичных векторов и , поэтому это тензор двух точек. Можно определить два типа тензора градиента деформации. Из-за предположения о непрерывности , имеет обратную , где тензор градиента пространственной деформации. Затем, по теореме о имплицитной функции, якобианский детерминант должен быть несингулярным, т. е. тензор градиента деформации материала является тензором второго порядка, который представляет градиент функции отображения или функционального отношения, который описывает движение континуума. Тензор градиента деформации материала характеризует локальную деформацию в материальной точке с вектором положения, т.е. деформацию в соседних точках, путем преобразования (линейного преобразования) материального элемента линии, исходящего из этой точки из эталонной конфигурации в текущую или деформированную конфигурацию, исходя из непрерывности в функции отображения, т.е. дифференцируемой функции и времени, что подразумевает, что трещины и пустоты не открываются или закрываются во время деформации. Так что,
The material deformation gradient tensor is a second order tensor that represents the gradient of the mapping function or functional relation , which describes the motion of a continuum. The material deformation gradient tensor characterizes the local deformation at a material point with position vector , i. e., deformation at neighbouring points, by transforming (linear transformation) a material line element emanating from that point from the reference configuration to the current or deformed configuration, assuming continuity in the mapping function , i. e. differentiable function of and time , which implies that cracks and voids do not open or close during the deformation. Thus we have,
Вектор относительного смещения
Рассмотрим точку частицы или материала с вектором положения в необразованной конфигурации (рисунок 2). После перемещения тела новое положение частицы, обозначенное в новой конфигурации, дается позицией вектора. Системы координат для необработанной и деформированной конфигурации могут быть наложены для удобства. Теперь рассмотрим материальную точку, соседствующую с вектором положения. В деформированной конфигурации эта частица имеет новое положение, данное вектором положения. Предполагая, что сегменты линии и соединяющие частицы и в недеформированной и деформированной конфигурации, соответственно, очень малы, тогда мы можем выразить их как и Таким образом, из фиг.2 у нас есть где вектор относительного смещения, который представляет относительное смещение по отношению к в деформированной конфигурации.
where is the relative displacement vector, which represents the relative displacement of with respect to in the deformed configuration.
Физическая интерпретация конечного тензора деформации
Диагональные компоненты лагранжианского конечного тензора напряжения связаны с нормальным напряжением, например, где нормальное напряжение или инженерное напряжение в направлении. Диагональные компоненты лагранжианского конечного тензора напряжения связаны с сдвижным напряжением, например, где изменение угла между двумя элементами линии, которые первоначально были перпендикулярны с направлениями и , соответственно. При определенных обстоятельствах, т.е. при небольших смещениях и небольших скоростях смещения, компоненты конечного тензора деформации Лагранжа могут быть приближены компонентами бесконечно малого тензора деформации
where is the normal strain or engineering strain in the direction
The off diagonal components of the Lagrangian finite strain tensor are related to shear strain, e. g.
where is the change in the angle between two line elements that were originally perpendicular with directions and , respectively. Under certain circumstances, i. e. small displacements and small displacement rates, the components of the Lagrangian finite strain tensor may be approximated by the components of the infinitesimal strain tensor
Условия совместимости
Проблема совместимости в механике континуума включает определение допустимых однозначных непрерывных полей на телах. Эти допустимые условия оставляют тело без нефизических пробелов или перекрытий после деформации. Большинство таких условий применяются к просто связанным объектам. Для внутренних границ многократно соединенных тел требуются дополнительные условия.
Совместимость левого тензора деформации Коши-Грин
Общие условия достаточности для тензора левой деформации Коши-Грин в трех измерениях были получены Амитом Ачарья. Условия совместимости для двухмерных полей были найдены Джанет Блюм.