Введение
В алгебре гомоморфизм — это отображение, сохраняющее структуру между двумя алгебраическими структурами одного типа (например, двумя группами, двумя кольцами или двумя векторными пространствами). Слово «гомоморфизм» происходит из древнегреческого языка: ὁμός (homos) означает «то же самое», а μορφή (morphe) — «форма» или «вид». Однако, по-видимому, это слово вошло в математику из-за (неверного) перевода немецкого слова ähnlich, означающего «подобный», как ὁμός, означающего «то же самое». Термин «гомоморфизм» впервые появился в 1892 году и был приписан немецкому математику Феликсу Клейну (1849–1925). Гомоморфизмы векторных пространств также называют линейными отображениями, а их изучение является предметом линейной алгебры. Понятие гомоморфизма было обобщено под названием «морфизм» для многих других структур, которые либо не имеют базового множества, либо не являются алгебраическими. Это обобщение является отправной точкой теории категорий. Гомоморфизм также может быть изоморфизмом, эндоморфизмом, автоморфизмом и т. д. (см. ниже). Каждый из этих типов может быть определен таким образом, что его можно обобщить на любой класс морфизмов.
In algebra, a homomorphism is a structure preserving map between two algebraic structures of the same type (such as two groups, two rings, or two vector spaces). The word homomorphism comes from the Ancient Greek language: ὁμός (homos) meaning "same" and μορφή (morphe) meaning "form" or "shape". However, the word was apparently introduced to mathematics due to a (mis)translation of German ähnlich meaning "similar" to ὁμός meaning "same". The term "homomorphism" appeared as early as 1892, when it was attributed to the German mathematician Felix Klein (1849–1925). Homomorphisms of vector spaces are also called linear maps, and their study is the subject of linear algebra. The concept of homomorphism has been generalized, under the name of morphism, to many other structures that either do not have an underlying set, or are not algebraic. This generalization is the starting point of category theory. A homomorphism may also be an isomorphism, an endomorphism, an automorphism, etc. (see below). Each of those can be defined in a way that may be generalized to any class of morphisms.
Специальные гомоморфизмы
Некоторые виды гомоморфизмов имеют специальное название, которое также применяется к общим морфизмам.
Эндоморфизм
Эндоморфизм — это гомоморфизм, область определения которого равна области значений, или, в более общем случае, морфизм, источник которого равен цели. Это означает, что (гомо)морфизм является мономорфизмом, если для любой пары морфизмов из любого другого объекта в , то следует. Эти два определения мономорфизма эквивалентны для всех распространенных алгебраических структур. Более точно, они эквивалентны для полей, для которых каждый гомоморфизм является мономорфизмом, и для вариаций универсальной алгебры, то есть алгебраических структур, для которых операции и аксиомы (тождества) определены без каких-либо ограничений (поля не образуют вариацию, так как мультипликативный обратный определяется либо как унарная операция, либо как свойство умножения, которые в обоих случаях определены только для ненулевых элементов). В частности, два определения мономорфизма эквивалентны для множеств, магм, полугрупп, моноидов, групп, колец, полей, векторных пространств и модулей. Расщепляемый мономорфизм — это гомоморфизм, имеющий левый обратный и, следовательно, являющийся сам правой обратной к другому гомоморфизму. То есть, гомоморфизм является расщепляемым мономорфизмом, если существует гомоморфизм такой, что . Расщепляемый мономорфизм всегда является мономорфизмом в обоих смыслах. Для множеств и векторных пространств каждый мономорфизм является расщепляемым мономорфизмом, но это свойство не выполняется для большинства распространенных алгебраических структур. Инъективный гомоморфизм является левосократимым: если для каждого в , общем источнике и , и если инъективен, то , и, следовательно, . Это доказательство работает не только для алгебраических структур, но и для любой категории, объекты которой являются множествами, а стрелки — отображениями между этими множествами. Например, инъективное непрерывное отображение является мономорфизмом в категории топологических пространств. Для доказательства того, что, наоборот, левосократимый гомоморфизм является инъективным, полезно рассмотреть свободный объект над . Для вариации алгебраических структур свободный объект над — это пара, состоящая из алгебраической структуры этой вариации и элемента , удовлетворяющего следующему универсальному свойству: для каждой структуры вариации и каждого элемента , существует единственный гомоморфизм такой, что . Например, для множеств свободный объект над — это просто ; для полугрупп свободный объект над — это , который как полугруппа изоморфен аддитивной полугруппе положительных целых чисел; для моноидов свободный объект над — это , который как моноид изоморфен аддитивной моноиде неотрицательных целых чисел; для групп свободный объект над — это бесконечная циклическая группа , которая как группа изоморфна аддитивной группе целых чисел; для колец свободный объект над — это полиномиальное кольцо ; для векторных пространств или модулей свободный объект над — это векторное пространство или свободный модуль, имеющий в качестве базиса. Если свободный объект над существует, то каждый левосократимый гомоморфизм является инъективным: пусть будет левосократимым гомоморфизмом, и и будут двумя элементами . По определению свободного объекта , существуют гомоморфизмы и из в такие, что и . Поскольку , то по единственности в определении универсального свойства. Поскольку левосократим, то , и, следовательно, инъективен. Существование свободного объекта над для вариации (см. также): Для построения свободного объекта над рассмотрим множество хорошо сформированных формул, построенных из и операций структуры. Две такие формулы называются эквивалентными, если можно перейти от одной к другой, применяя аксиомы (тождества структуры). Это определяет отношение эквивалентности, если тождества не подчиняются условиям, то есть если работа ведется с вариацией. Тогда операции вариации хорошо определены на множестве классов эквивалентности для этого отношения. Легко показать, что полученный объект является свободным объектом над .
These two definitions of monomorphism are equivalent for all common algebraic structures. More precisely, they are equivalent for fields, for which every homomorphism is a monomorphism, and for varieties of universal algebra, that is algebraic structures for which operations and axioms (identities) are defined without any restriction (the fields do not form a variety, as the multiplicative inverse is defined either as a unary operation or as a property of the multiplication, which are, in both cases, defined only for nonzero elements). In particular, the two definitions of a monomorphism are equivalent for sets, magmas, semigroups, monoids, groups, rings, fields, vector spaces and modules. A split monomorphism is a homomorphism that has a left inverse and thus it is itself a right inverse of that other homomorphism. That is, a homomorphism is a split monomorphism if there exists a homomorphism such that A split monomorphism is always a monomorphism, for both meanings of monomorphism. For sets and vector spaces, every monomorphism is a split monomorphism, but this property does not hold for most common algebraic structures. An injective homomorphism is left cancelable: If one has for every in , the common source of and If is injective, then , and thus This proof works not only for algebraic structures, but also for any category whose objects are sets and arrows are maps between these sets. For example, an injective continuous map is a monomorphism in the category of topological spaces. For proving that, conversely, a left cancelable homomorphism is injective, it is useful to consider a free object on Given a variety of algebraic structures a free object on is a pair consisting of an algebraic structure of this variety and an element of satisfying the following universal property: for every structure of the variety, and every element of , there is a unique homomorphism such that For example, for sets, the free object on is simply ; for semigroups, the free object on is which, as, a semigroup, is isomorphic to the additive semigroup of the positive integers; for monoids, the free object on is which, as, a monoid, is isomorphic to the additive monoid of the nonnegative integers; for groups, the free object on is the infinite cyclic group which, as, a group, is isomorphic to the additive group of the integers; for rings, the free object on is the polynomial ring for vector spaces or modules, the free object on is the vector space or free module that has as a basis. If a free object over exists, then every left cancelable homomorphism is injective: let be a left cancelable homomorphism, and and be two elements of such By definition of the free object , there exist homomorphisms and from to such that and As , one has by the uniqueness in the definition of a universal property. As is left cancelable, one has , and thus Therefore, is injective. Existence of a free object on for a variety (see also ): For building a free object over , consider the set of the well formed formulas built up from and the operations of the structure. Two such formulas are said equivalent if one may pass from one to the other by applying the axioms (identities of the structure). This defines an equivalence relation, if the identities are not subject to conditions, that is if one works with a variety. Then the operations of the variety are well defined on the set of equivalence classes of for this relation. It is straightforward to show that the resulting object is a free object on .
Ядра
Любой гомоморфизм определяет отношение эквивалентности на множестве , если и только если . Отношение называется ядром гомоморфизма . Это отношение конгруэнтности на . Квоциентное множество можно снабдить структурой того же типа, что и , естественным образом, определяя операции на квоциентном множестве как , для каждой операции в . В этом случае образ в под гомоморфизмом обязательно изоморфен ; этот факт является одной из теорем об изоморфизмах. Когда алгебраическая структура является группой относительно некоторой операции, для характеристики отношения эквивалентности достаточно эквивалентного класса нейтрального элемента этой операции. В этом случае, квоциент по отношению эквивалентности обозначается (обычно читается как "по модулю "). Также в этом случае, именно , а не , называется ядром. Ядра гомоморфизмов заданного типа алгебраической структуры естественным образом наделены некоторой структурой. Тип структуры ядра совпадает с рассматриваемой структурой в случае абелевых групп, векторных пространств и модулей, но отличается и имеет специальное название в других случаях, например, нормальная подгруппа для ядер гомоморфизмов групп и идеалы для ядер гомоморфизмов колец (в случае некоммутативных колец ядрами являются двусторонние идеалы).
Теория формального языка
Гомоморфизмы также используются в изучении формальных языков и часто кратко называются морфизмами. Пусть даны алфавиты и , функция называется гомоморфизмом на , если для всех . Если является гомоморфизмом на и обозначает пустую строку, то называется свободным гомоморфизмом, когда для всех в . Гомоморфизм на , который удовлетворяет условию для всех , называется равномерным гомоморфизмом. Если для всех (то есть, является 1-равномерным), то также называется кодированием или проекцией. Множество слов, образованных из алфавита , можно рассматривать как свободный моноид, порожденный . Здесь моноидной операцией является конкатенация, а нейтральным элементом – пустое слово. С этой точки зрения, языковой гомоморфизм является, по сути, моноидным гомоморфизмом.
A homomorphism on that satisfies for all is called a uniform homomorphism. If for all (that is, is 1 uniform), then is also called a coding or a projection. The set of words formed from the alphabet may be thought of as the free monoid generated by Here the monoid operation is concatenation and the identity element is the empty word. From this perspective, a language homomorphism is precisely a monoid homomorphism.