Степени свободы механической системы

Введение

Количество независимых параметров, необходимых для определения состояния механической системы
Механика

В физике степени свободы (DOF) механической системы – это число независимых параметров, определяющих её конфигурацию или состояние. Это важно при анализе систем тел в машиностроении, строительной механике, аэрокосмической технике, робототехнике и других областях. Положение одиночного вагона (локомотива), движущегося по рельсам, имеет одну степень свободы, поскольку положение вагона определяется расстоянием вдоль рельсов. Поезд из жёстких вагонов, соединённых шарнирами с локомотивом, всё равно имеет только одну степень свободы, так как положение вагонов за локомотивом ограничено формой пути. Автомобиль с очень жёсткой подвеской можно рассматривать как абсолютно твёрдое тело, движущееся в плоскости (плоском, двумерном пространстве). Это тело имеет три независимые степени свободы, состоящие из двух составляющих перемещения и одного угла поворота. Занос – хороший пример трёх независимых степеней свободы автомобиля. Положение и ориентация абсолютно твёрдого тела в пространстве определяются тремя составляющими перемещения и тремя углами поворота, что означает, что оно имеет шесть степеней свободы. Метод точного кинематического расчета обеспечивает управление степенями свободы, чтобы избежать как недоопределения, так и переопределения системы.

Низкая мобильность

Физические ограничения могут ограничивать количество степеней свободы одного жесткого тела. Например, блок, скользящий по плоской поверхности, имеет 3 степени свободы (3 DOF), включающие две поступательные 2T и одно вращательное движение 1R. Робот позиционирования XYZ, такой как SCARA, имеет 3 степени свободы (3 DOF) и пониженную подвижность.

Формула мобильности

Формула подвижности подсчитывает количество параметров, определяющих конфигурацию множества жестких тел, соединенных шарнирами. Рассмотрим систему из n жестких тел, движущихся в пространстве, которая имеет 6n степеней свободы, отсчитываемых относительно неподвижной системы координат. Для вычисления степеней свободы этой системы необходимо включить неподвижное тело в число тел, чтобы подвижность не зависела от выбора тела, образующего неподвижную систему координат. Тогда число степеней свободы неограниченной системы из N = n + 1 тел равно , поскольку неподвижное тело имеет нулевое число степеней свободы относительно самой себя. Шарниры, соединяющие тела в этой системе, уменьшают число степеней свободы и, следовательно, подвижность. В частности, шарниры и поступательные направляющие каждый накладывают пять ограничений и, следовательно, уменьшают число степеней свободы на пять. Удобно определить число ограничений c, накладываемых шарниром, через число степеней свободы f шарнира, где c = 6 − f. В случае шарнира или поступательной направляющей, которые имеют одну степень свободы (f = 1), c = 6 − 1 = 5. Таким образом, подвижность системы, состоящей из n движущихся звеньев и j шарниров, каждый с числом степеней свободы fi, где i = 1, …, j, определяется формулой . Следует помнить, что N включает в себя неподвижное звено. Существует два важных частных случая: (i) простая разомкнутая цепь и (ii) простая замкнутая цепь. Разомкнутая цепь состоит из n движущихся звеньев, соединенных последовательно n шарнирами, при этом один конец соединен с неподвижным звеном. Следовательно, в этом случае N = j + 1, и подвижность цепи равна . Для простой замкнутой цепи n движущихся звеньев соединены последовательно n + 1 шарнирами таким образом, что оба конца соединены с неподвижным звеном, образуя петлю. В этом случае N = j, и подвижность цепи равна . Примером разомкнутой цепи является последовательный манипулятор робота. Эти роботизированные системы состоят из последовательности звеньев, соединенных шестью шарнирами с одной степенью свободы, поэтому система имеет шесть степеней свободы. Примером замкнутой цепи является пространственный четырехзвенник RSSR. Сумма степеней свободы этих шарниров равна восьми, поэтому подвижность механизма равна двум, где одна из степеней свободы – вращение центрального звена вокруг линии, соединяющей два S-образных шарнира.

The mobility formula counts the number of parameters that define the configuration of a set of rigid bodies that are constrained by joints connecting these bodies. Consider a system of n rigid bodies moving in space has 6n degrees of freedom measured relative to a fixed frame. In order to count the degrees of freedom of this system, include the fixed body in the count of bodies, so that mobility is independent of the choice of the body that forms the fixed frame. Then the degree of freedom of the unconstrained system of N = n + 1 is

because the fixed body has zero degrees of freedom relative to itself. Joints that connect bodies in this system remove degrees of freedom and reduce mobility. Specifically, hinges and sliders each impose five constraints and therefore remove five degrees of freedom. It is convenient to define the number of constraints c that a joint imposes in terms of the joint's freedom f, where c = 6 − f. In the case of a hinge or slider, which are one degree of freedom joints, have f = 1 and therefore c = 6 − 1 = 5. The result is that the mobility of a system formed from n moving links and j joints each with freedom fi, i = 1, , j, is given by

Recall that N includes the fixed link. There are two important special cases: (i) a simple open chain, and (ii) a simple closed chain. A single open chain consists of n moving links connected end to end by n joints, with one end connected to a ground link. Thus, in this case N = j + 1 and the mobility of the chain is

For a simple closed chain, n moving links are connected end to end by n + 1 joints such that the two ends are connected to the ground link forming a loop. In this case, we have N = j and the mobility of the chain is

An example of a simple open chain is a serial robot manipulator. These robotic systems are constructed from a series of links connected by six one degree of freedom revolute or prismatic joints, so the system has six degrees of freedom. An example of a simple closed chain is the RSSR spatial four bar linkage. The sum of the freedom of these joints is eight, so the mobility of the linkage is two, where one of the degrees of freedom is the rotation of the coupler around the line joining the two S joints.

Системы органов

Система, состоящая из нескольких тел, будет иметь суммарную степень свободы (DOF), равную сумме степеней свободы отдельных тел, уменьшенной на количество внутренних ограничений, существующих для их относительного движения. Механизм или кинематическая цепь, содержащие несколько соединенных жестких тел, могут иметь больше степеней свободы, чем одно отдельное жесткое тело. Здесь термин "степень свободы" используется для описания количества параметров, необходимых для определения пространственного положения кинематической цепи. Он также определяется в контексте пространства конфигураций, рабочего пространства и пространства задач робота. Особым типом кинематических цепей является открытая кинематическая цепь, в которой набор жестких звеньев соединен суставами; сустав может обеспечивать одну степень свободы (поворотный или поступательный), или две (цилиндрический). Такие цепи часто встречаются в робототехнике, биомеханике, а также при создании спутников и других космических конструкций. Считается, что человеческая рука имеет семь степеней свободы. Плечевое сочленение обеспечивает вращение вокруг трех осей (тангаж, рыскание и крен), локтевое – тангаж, а запястье – тангаж, рыскание и крен. Для перемещения руки в любую точку пространства достаточно всего трех движений, однако люди лишились бы возможности захватывать предметы под разными углами или направлениями. Робот (или объект), имеющий механизмы для управления всеми 6 физическими степенями свободы, называется голономным. Объект с меньшим количеством управляемых степеней свободы, чем общее количество степеней свободы, называется неголономным, а объект с большим количеством управляемых степеней свободы, чем общее количество степеней свободы (например, человеческая рука), называется избыточным. Однако следует учитывать, что в случае человеческой руки это не избыточно, поскольку две степени свободы – запястье и плечо – представляющие одно и то же движение (крен), дополняют друг друга, так как ни одна из них не может обеспечить полный оборот на 360 градусов. Степени свободы можно представить как различные возможные движения. В мобильной робототехнике, например, автомобиль может достичь любой позиции и ориентации в двумерном пространстве, поэтому для описания его положения требуется 3 степени свободы, но в любой момент времени его можно переместить только поступательным движением и углом поворота руля. Таким образом, у него есть две управляющие степени свободы и три степени свободы, описывающие положение; то есть он является неголономным. Самолет с фиксированным крылом, имеющий 3–4 управляющие степени свободы (поступательное движение, крен, тангаж и в ограниченной степени, рыскание) в трехмерном пространстве, также является неголономным, поскольку он не может двигаться непосредственно вверх/вниз или влево/вправо. Обзор формул и методов вычисления степеней свободы в механических системах представлен в работах Пеннестри, Кавачече и Виты.

A system with several bodies would have a combined DOF that is the sum of the DOFs of the bodies, less the internal constraints they may have on relative motion. A mechanism or linkage containing a number of connected rigid bodies may have more than the degrees of freedom for a single rigid body. Here the term degrees of freedom is used to describe the number of parameters needed to specify the spatial pose of a linkage. It is also defined in context of the configuration space, task space and workspace of a robot. A specific type of linkage is the open kinematic chain, where a set of rigid links are connected at joints; a joint may provide one DOF (hinge/sliding), or two (cylindrical). Such chains occur commonly in robotics, biomechanics, and for satellites and other space structures. A human arm is considered to have seven DOFs. A shoulder gives pitch,yaw, and roll, an elbow allows for pitch, and a wrist allows for pitch, yaw and roll. Only 3 of those movements would be necessary to move the hand to any point in space, but people would lack the ability to grasp things from different angles or directions. A robot (or object) that has mechanisms to control all 6 physical DOF is said to be holonomic. An object with fewer controllable DOFs than total DOFs is said to be non holonomic, and an object with more controllable DOFs than total DOFs (such as the human arm) is said to be redundant. Although keep in mind that it is not redundant in the human arm because the two DOFs; wrist and shoulder, that represent the same movement; roll, supply each other since they can't do a full 360. The degree of freedom are like different movements that can be made. In mobile robotics, a car like robot can reach any position and orientation in 2 D space, so it needs 3 DOFs to describe its pose, but at any point, you can move it only by a forward motion and a steering angle. So it has two control DOFs and three representational DOFs; i. e. it is non holonomic. A fixed wing aircraft, with 3–4 control DOFs (forward motion, roll, pitch, and to a limited extent, yaw) in a 3 D space, is also non holonomic, as it cannot move directly up/down or left/right. A summary of formulas and methods for computing the degrees of freedom in mechanical systems has been given by Pennestri, Cavacece, and Vita.

Электротехника

В электротехнике понятие степени свободы часто используется для описания числа направлений, в которых фазированная антенная решетка может формировать либо лучи, либо минимумы. Оно равно числу элементов в решетке минус один, поскольку один элемент используется в качестве опорного, относительно которого с помощью каждого из остальных элементов антенны может создаваться конструктивная или деструктивная интерференция. На практике это применяется как в радиолокации, где чаще используется управление лучом, так и в системах связи, где чаще используется управление минимумами для подавления помех.