Введение
Тринадцатая задача Гильберта об уравнениях седьмой степени является одной из 23 задач Гильберта, сформулированных в знаменитом списке, составленном Дэвидом Гильбертом в 1900 году. Она заключается в доказательстве существования решения для всех уравнений седьмой степени, использующего алгебраические (или, альтернативно, непрерывные) функции двух переменных. Впервые она была сформулирована в контексте номографии, в частности, "номографического построения" – процесса, посредством которого функция нескольких переменных конструируется с использованием функций двух переменных. Вариант с непрерывными функциями был положительно решен в 1957 году Владимиром Арнольдом, доказавшим теорему о представлении Колмогорова — Арнольда, однако вариант с алгебраическими функциями остаётся нерешённым.
Hilbert's thirteenth problem is one of the 23 Hilbert problems set out in a celebrated list compiled in 1900 by David Hilbert. It entails proving whether a solution exists for all 7th degree equations using algebraic (variant: continuous) functions of two arguments. It was first presented in the context of nomography, and in particular "nomographic construction" — a process whereby a function of several variables is constructed using functions of two variables. The variant for continuous functions was resolved affirmatively in 1957 by Vladimir Arnold when he proved the Kolmogorov–Arnold representation theorem, but the variant for algebraic functions remains unresolved.
Введение
Используя методы, разработанные Эрфридом Вальтером фон Цирнхаусом (1683), Эрландом Самуэлем Брингом (1786) и Джорджем Джерраром (1834), Уильям Роуэн Гамильтон показал в 1836 году, что любое уравнение седьмой степени можно привести с помощью радикалов к виду. Относительно этого уравнения Гильберт задался вопросом, можно ли его решение, x, рассматриваемое как функция трех переменных a, b и c, представить в виде композиции конечного числа функций двух переменных.
Regarding this equation, Hilbert asked whether its solution, x, considered as a function of the three variables a, b and c, can be expressed as the composition of a finite number of two variable functions.
История
Гильберт изначально сформулировал свою проблему для алгебраических функций (Hilbert 1927, "Existenz von algebraischen Funktionen", то есть "существование алгебраических функций"; также см. Abhyankar 1997, Vitushkin 2004). Однако Гильберт также задался вопросом в более поздней версии этой проблемы, существует ли решение в классе непрерывных функций. Обобщением второго ("непрерывного") варианта проблемы является следующий вопрос: можно ли любую непрерывную функцию трех переменных представить в виде композиции конечного числа непрерывных функций двух переменных? Положительный ответ на этот обобщенный вопрос дал в 1957 году Владимир Арнольд, тогда всего девятнадцатилетний студент Андрея Колмогорова. Колмогоров годом ранее показал, что любая функция нескольких переменных может быть построена из конечного числа функций трех переменных. Арнольд затем развил эту работу, показав, что на самом деле достаточно функций только двух переменных, тем самым ответив на вопрос Гильберта, сформулированный для класса непрерывных функций. Позже Арнольд вернулся к алгебраической версии проблемы, работая совместно с Горо Шимурой (Arnold и Shimura 1976).