Введение

Функция роста, демонстрирующая сингулярность в конечный момент времени.

Когда величина растет к сингулярности при конечном изменении (так называемая "сингулярность в конечный момент времени"), говорят, что она испытывает гиперболический рост. Более точно, обратная функция имеет график в виде гиперболы и имеет сингулярность в точке 0, что означает, что предел при x стремящемся к 0 бесконечен: любой подобный график демонстрирует гиперболический рост.

Описание

Если выходное значение функции обратно пропорционально её входному значению или обратно пропорционально разности от заданного значения, то функция будет демонстрировать гиперболический рост с сингулярностью в точке. В реальном мире гиперболический рост возникает благодаря определённым нелинейным механизмам положительной обратной связи.

Население

Некоторые математические модели предполагают, что до начала 1970-х годов численность населения мира демонстрировала гиперболический рост (см., например, "Введение в социальную макродинамику" Андрея Коротаева и др.). Также было показано, что до 1970-х годов гиперболический рост населения мира сопровождался квадратично-гиперболическим ростом мирового ВВП, и разработан ряд математических моделей, описывающих как это явление, так и выход мировой системы из режима взрывного роста, наблюдаемого в последние десятилетия. Гиперболический рост населения мира и квадратично-гиперболический рост мирового ВВП, наблюдаемые до 1970-х годов, были соотнесены Андреем Коротаевым и его коллегами с нелинейной положительной обратной связью второго порядка между демографическим ростом и технологическим развитием, описываемой цепочкой причинно-следственных связей: технологический рост ведет к увеличению обеспеченности ресурсов для населения, что ведет к увеличению численности населения, что ведет к увеличению числа изобретателей, что, в свою очередь, ведет к дальнейшему технологическому росту, и так далее. Также было продемонстрировано, что гиперболические модели этого типа могут быть использованы для достаточно точного описания общего роста планетарной сложности Земли начиная с 4 миллиардов лет назад и до настоящего времени. Другие модели предполагают экспоненциальный рост, логистический рост или иные функции.

Теория очередей

Другой пример гиперболического роста можно найти в теории массового обслуживания: среднее время ожидания случайно прибывающих клиентов растет гиперболически как функция от средней загруженности сервера. Сингулярность в данном случае возникает, когда средний объем поступающей на сервер работы равен его производительности. Если объем обработки превышает производительность сервера, то среднее время ожидания не определено, поскольку очередь может неограниченно возрастать. Практическое следствие этого примера заключается в том, что для систем массового обслуживания с высокой загрузкой среднее время ожидания может быть крайне чувствительно к производительности сервера.

Кинетика ферментов

Еще один практический пример гиперболического роста можно найти в кинетике ферментов. При построении графика зависимости скорости реакции (обозначаемой как скорость) между ферментом и субстратом от различных концентраций субстрата для многих простых систем получается гипербола. В этом случае говорят, что фермент подчиняется кинетике Михаэлиса-Ментен.