Введение

В математике, и особенно в области комплексного анализа, теорема о факторизации Адамара утверждает, что любая целая функция конечного порядка может быть представлена в виде произведения, включающего её нули и экспоненту многочлена. Она названа в честь Жака Адамара. Эту теорему можно рассматривать как обобщение основной теоремы алгебры, утверждающей, что любой многочлен можно разложить на линейные множители, по одному на каждый корень. Она тесно связана с теоремой факторизации Вейерштрасса, которая не ограничивается целыми функциями конечного порядка.

Официальное заявление

Определите хадамардские канонические факторы. Целые функции конечного порядка имеют хадамардское каноническое представление: где – это ненулевые корни функции, – порядок нуля в точке (при этом подразумевается, что ), – многочлен (степень которого мы обозначим ), а – наименьшее неотрицательное целое число, при котором ряд сходится. Неотрицательное целое число называется родом целой функции. В этой нотации, другими словами: если порядок не является целым числом, то – это целая часть числа . Если порядок – положительное целое число, то возможны два варианта: или . Кроме того, неравенство Йенсена подразумевает, что корни распределены разреженно, с критическим показателем . Например, , и – целые функции рода .

Критический показатель

Определите критический показатель корней функции как следующий: где – количество корней с модулем . Иными словами, мы имеем асимптотическую оценку поведения роста числа корней функции: Очевидно, что

Теорема: Если – целая функция с бесконечным числом корней, то

Примечание: Эти два равенства описывают исключительно предельное поведение последовательности действительных чисел, стремящейся к бесконечности. Они не требуют использования комплексного анализа.

Предложение: , согласно формуле Дженсена.

Доказательство

Так как это также целая функция того же порядка и рода, мы можем без ограничения общности предположить, что если у функции имеет только конечное число корней, то с функцией порядка . Таким образом, применяя теорему Бореля — Каратеодори, получаем, что является многочленом степени , и следовательно, у нас есть. В противном случае, функция имеет бесконечно много корней. Это наиболее сложная часть, и она требует рассмотрения двух случаев. Сначала покажем, что , а затем покажем, что . Определим функцию , где мы изучим поведение .

хорошо определена

Источник: Если функция целая, неконстантная и имеет конечный порядок, то она принимает либо все значения в комплексной плоскости, либо все значения, кроме одной точки. Доказательство: Если функция не принимает значение w, то по факторизации Адамара, для некоторого неконстантного многочлена P. По фундаментальной теореме алгебры, P принимает все значения, следовательно, функция принимает все ненулевые значения. Теорема: Если функция целая, неконстантная и имеет конечный, нецелочисленный порядок ρ, то она принимает все значения в комплексной плоскости бесконечно много раз. Доказательство: Для любого w достаточно доказать, что у функции бесконечно много корней. Разложим функцию в представление Адамара. Если произведение конечно, то ρ – целое число.