Геометрическая алгебра: структура для геометрии

Введение

Алгебраическая структура, предназначенная для геометрии.

В математике геометрическая алгебра (также известная как алгебра Клиффорда) является расширением элементарной алгебры для работы с геометрическими объектами, такими как векторы. Геометрическая алгебра строится на основе двух фундаментальных операций: сложения и геометрического произведения. Умножение векторов приводит к объектам более высокой размерности, называемым мультивекторами. По сравнению с другими формализмами для манипулирования геометрическими объектами, геометрическая алгебра примечательна тем, что поддерживает деление векторов (хотя обычно не для всех элементов) и сложение объектов разных размерностей. Геометрическое произведение впервые было кратко упомянуто Германом Грассманом, который в основном интересовался развитием тесно связанной с ней внешней алгебры. В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд значительно расширил работу Грассмана, чтобы сформировать то, что теперь обычно называют алгебрами Клиффорда в его честь (хотя сам Клиффорд предпочел называть их «геометрическими алгебрами»). Клиффорд определил алгебру Клиффорда и ее произведение как объединение алгебры Грассмана и алгебры кватернионов Гамильтона. Добавление двойственного внешнего произведения Грассмана («встреча») позволяет использовать алгебру Грассмана — Кейли, а конформная версия последней вместе с конформной алгеброй Клиффорда дает конформную геометрическую алгебру (CGA), предоставляющую основу для классических геометрий. На практике эти и несколько производных операций позволяют установить соответствие между элементами, подпространствами и операциями алгебры с их геометрическими интерпретациями. В течение нескольких десятилетий геометрические алгебры оставались в некоторой степени незамеченными, сильно затмеваясь векторным исчислением, недавно разработанным для описания электромагнетизма. Термин «геометрическая алгебра» был вновь популяризирован в 1960-х годах Гестеном, который отстаивал ее важность для релятивистской физики. Скаляры и векторы имеют свою обычную интерпретацию и составляют различные подпространства геометрической алгебры. Бивекторы обеспечивают более естественное представление псевдовекторных величин векторного исчисления, обычно определяемых с использованием векторного (или внешнего) произведения, таких как ориентированная площадь, ориентированный угол вращения, момент силы, угловой момент и магнитное поле. Тривектор может представлять ориентированный объем и так далее. Элемент, называемый плоскостью (blade), может использоваться для представления подпространства и ортогональных проекций на это подпространство. Вращения и отражения представляются как элементы. В отличие от векторной алгебры, геометрическая алгебра естественным образом допускает любое количество измерений и любую квадратичную форму, например, в теории относительности. Примеры геометрических алгебр, применяемых в физике, включают в себя алгебру пространства-времени (и менее распространенную алгебру физического пространства) и конформную геометрическую алгебру. Геометрический анализ, расширение ГА, которое включает дифференцирование и интегрирование, может быть использовано для формулирования других теорий, таких как комплексный анализ и дифференциальная геометрия, например, с помощью алгебры Клиффорда вместо дифференциальных форм. Геометрическая алгебра была предложена, в частности, Дэвидом Хестеном и Крисом Дораном, как предпочтительная математическая структура для физики. Сторонники утверждают, что она обеспечивает компактные и интуитивно понятные описания во многих областях, включая классическую и квантовую механику, электромагнитную теорию и теорию относительности. ГА также нашла применение в качестве вычислительного инструмента в компьютерной графике и робототехнике.

In mathematics, a geometric algebra (also known as a Clifford algebra) is an extension of elementary algebra to work with geometrical objects such as vectors. Geometric algebra is built out of two fundamental operations, addition and the geometric product. Multiplication of vectors results in higher dimensional objects called multivectors. Compared to other formalisms for manipulating geometric objects, geometric algebra is noteworthy for supporting vector division (though generally not for all elements) and addition of objects of different dimensions. The geometric product was first briefly mentioned by Hermann Grassmann, who was chiefly interested in developing the closely related exterior algebra. In 1878, William Kingdon Clifford greatly expanded on Grassmann's work to form what are now usually called Clifford algebras in his honor (although Clifford himself chose to call them "geometric algebras"). Clifford defined the Clifford algebra and its product as a unification of the Grassmann algebra and Hamilton's quaternion algebra. Adding the dual of the Grassmann exterior product (the "meet") allows the use of the Grassmann–Cayley algebra, and a conformal version of the latter together with a conformal Clifford algebra yields a conformal geometric algebra (CGA) providing a framework for classical geometries. In practice, these and several derived operations allow a correspondence of elements, subspaces and operations of the algebra with geometric interpretations. For several decades, geometric algebras went somewhat ignored, greatly eclipsed by the vector calculus then newly developed to describe electromagnetism. The term "geometric algebra" was repopularized in the 1960s by Hestenes, who advocated its importance to relativistic physics. The scalars and vectors have their usual interpretation, and make up distinct subspaces of a geometric algebra. Bivectors provide a more natural representation of the pseudovector quantities of vector calculus normally defined using a cross product, such as oriented area, oriented angle of rotation, torque, angular momentum and the magnetic field. A trivector can represent an oriented volume, and so on. An element called a blade may be used to represent a subspace of 1= V and orthogonal projections onto that subspace. Rotations and reflections are represented as elements. Unlike a vector algebra, a geometric algebra naturally accommodates any number of dimensions and any quadratic form such as in relativity. Examples of geometric algebras applied in physics include the spacetime algebra (and the less common algebra of physical space) and the conformal geometric algebra. Geometric calculus, an extension of GA that incorporates differentiation and integration, can be used to formulate other theories such as complex analysis and differential geometry, e. g. by using the Clifford algebra instead of differential forms. Geometric algebra has been advocated, most notably by David Hestenes and Chris Doran, as the preferred mathematical framework for physics. Proponents claim that it provides compact and intuitive descriptions in many areas including classical and quantum mechanics, electromagnetic theory and relativity. GA has also found use as a computational tool in computer graphics and robotics.

Представление подпространств

Геометрическая алгебра представляет подпространства как блэйды, и поэтому они сосуществуют в той же алгебре с векторами. k-мерное подпространство представляется путем выбора ортогонального базиса и использования геометрического произведения для формирования блэйда D = b₁b₂…bₖ. Существует множество блэйдов, представляющих W; все они являются скалярными кратными D. Эти блэйды можно разделить на два множества: положительные кратные D и отрицательные кратные D. Положительные кратные считаются имеющими ту же ориентацию, что и D, а отрицательные кратные – противоположную. Блэйды важны, поскольку геометрические операции, такие как проекции, вращения и отражения, зависят от факторизации через внешнее произведение, которую обеспечивают (ограниченный класс) n-блэйдов, но которую не обеспечивают (обобщенный класс) n-градусных мультивекторов при n ≥ 4.

Псевдоскалярные единицы

Псевдоскаляры единицы – это лезвия, играющие важную роль в GA. Псевдоскаляр единицы для невырожденного подпространства – это лезвие, являющееся произведением членов ортонормального базиса для 1= W. Можно показать, что если и являются псевдоскалярами единицы для 1= W, то и 1= I^2 = \pm 1. Если не выбрать ортонормальный базис для 1= W, то вложение Плюкера дает вектор во внешней алгебре, но только с точностью до масштабирования. Используя изоморфизм векторных пространств между геометрической алгеброй и внешней алгеброй, это дает класс эквивалентности для всех 1= \alpha \neq 0. Ортонормальность устраняет эту неоднозначность, за исключением указанных выше знаков. Предположим, сформирована геометрическая алгебра с привычным положительно определенным внутренним произведением на . Для заданной плоскости (двумерного подпространства) 1= \R^n можно найти ортонормальный базис, порождающий эту плоскость, и, следовательно, найти псевдоскаляр единицы, представляющий эту плоскость. Геометрическое произведение любых двух векторов в линейной оболочке и лежит в 1= \{ \alpha 0 + \alpha 1 I \mid \alpha i \in \R \}, то есть является суммой вектора 1= 0 и вектора 1= 2. По свойствам геометрического произведения, 1= I^2 = b 1 b 2 b 1 b 2 = b 1 b 2 b 2 b 1 = 1. Сходство с мнимой единицей не случайно: подпространство 1= \R алгебраически изоморфно комплексным числам. Таким образом, копия комплексных чисел встроена в геометрическую алгебру для каждого двухмерного подпространства, на котором квадратичная форма определена. Иногда можно обнаружить присутствие мнимой единицы в физическом уравнении. Такие единицы возникают из одной из многих величин в вещественной алгебре, квадрат которой равен 1= 1, и они имеют геометрический смысл благодаря свойствам алгебры и взаимодействию ее различных подпространств. В 1= \mathcal{G}(3,0) возникает еще один знакомый случай. Для стандартного базиса, состоящего из ортонормальных векторов 1= V, множество всех 1= 2 векторов порождается обозначениями этих 1= i, и (временно отступая от принятого заглавного обозначения), подпространство, порожденное 1= 0 векторами и 1= 2 векторами, равно точно 1= \{ \alpha 0 + i \alpha 1 + j \alpha 2 + k \alpha 3 \mid \alpha i \in \R\}. Это множество является четной подалгеброй 1= \mathcal{G}(3,0) и, кроме того, изоморфно как 1= \R алгебра кватернионам – другой важной алгебраической системе.

Unit pseudoscalars are blades that play important roles in GA. A unit pseudoscalar for a non degenerate subspace of is a blade that is the product of the members of an orthonormal basis for 1= W It can be shown that if and are both unit pseudoscalars for 1= W , then and 1= I^2 = \pm 1 If one doesn't choose an orthonormal basis for 1= W , then the Plücker embedding gives a vector in the exterior algebra but only up to scaling. Using the vector space isomorphism between the geometric algebra and exterior algebra, this gives the equivalence class of for all 1= \alpha \neq 0 Orthonormality gets rid of this ambiguity except for the signs above. Suppose the geometric algebra with the familiar positive definite inner product on is formed. Given a plane (two dimensional subspace) of 1= \R^n , one can find an orthonormal basis spanning the plane, and thus find a unit pseudoscalar representing this plane. The geometric product of any two vectors in the span of and lies in 1= \{ \alpha 0 + \alpha 1 I \mid \alpha i \in \R \} , that is, it is the sum of a 1= 0 vector and a 1= 2 vector. By the properties of the geometric product, 1= I^2 = b 1 b 2 b 1 b 2 = b 1 b 2 b 2 b 1 = 1 The resemblance to the imaginary unit is not incidental: the subspace is 1= \R algebra isomorphic to the complex numbers. In this way, a copy of the complex numbers is embedded in the geometric algebra for each two dimensional subspace of on which the quadratic form is definite. It is sometimes possible to identify the presence of an imaginary unit in a physical equation. Such units arise from one of the many quantities in the real algebra that square to 1= 1 , and these have geometric significance because of the properties of the algebra and the interaction of its various subspaces. In 1= \mathcal{G}(3,0) , a further familiar case occurs. Given a standard basis consisting of orthonormal vectors of 1= V , the set of all 1= 2 vectors is spanned by

Labelling these 1= i , and (momentarily deviating from our uppercase convention), the subspace generated by 1= 0 vectors and 1= 2 vectors is exactly 1= \{ \alpha 0 + i \alpha 1 + j \alpha 2 + k \alpha 3 \mid \alpha i \in \R\} This set is seen to be the even subalgebra of 1= \mathcal{G}(3,0) , and furthermore is isomorphic as an 1= \R algebra to the quaternions, another important algebraic system.

Линейные функции

Хотя с версором легче работать, поскольку он может быть непосредственно представлен в алгебре как мультивектор, версоры являются подгруппой линейных функций над мультивекторами, которые всё ещё могут быть использованы при необходимости. Геометрическая алгебра n-мерного векторного пространства порождается базисом элементов. Если мультивектор представлен вещественной столбцовой матрицей коэффициентов по базису алгебры, то все линейные преобразования мультивектора могут быть выражены как умножение матрицы на вещественную матрицу. Однако такое общее линейное преобразование допускает произвольный обмен между степенями, например, "вращение" скаляра в вектор, что не имеет очевидной геометрической интерпретации. Представляет интерес общее линейное преобразование векторов в векторы. При естественном ограничении сохранения индуцированной внешней алгебры внешний морфизм линейного преобразования является единственным расширением версора. Если – линейная функция, отображающая векторы в векторы, то её внешний морфизм – это функция, удовлетворяющая правилу для блейда, расширенному на всю алгебру посредством линейности.

Моделирование геометрий

Хотя большое внимание уделялось CGA, стоит отметить, что GA – это не просто одна алгебра, а одна из группы алгебр с одинаковой фундаментальной структурой.

Однородные модели

Гомогенные модели обычно относятся к проективному представлению, в котором элементы одномерных подпространств векторного пространства представляют точки геометрии. В геометрической алгебре пространства размерности *n* роторы представляют собой набор преобразований с *n* степенями свободы, соответствующих вращениям – например, когда *n* = 3 и когда *n* = 4. Геометрическая алгебра часто используется для моделирования проективного пространства, то есть как однородная модель: точка, линия, плоскость и т. д. представляются классом эквивалентности элементов алгебры, отличающихся инвертируемым скалярным множителем. Роторы в пространстве размерности *n* имеют *n* степеней свободы, что равно количеству степеней свободы вращений и трансляций, объединенных для пространства размерности *n*. Это справедливо для проективной геометрической алгебры (PGA), которая используется для представления евклидовых изометрий в евклидовой геометрии (тем самым охватывая подавляющее большинство инженерных приложений геометрии). В этой модели к трем евклидовым измерениям добавляется вырожденное измерение, образуя алгебру \mathcal{G}(3,0,1). При подходящем отождествлении подпространств для представления точек, линий и плоскостей версоры этой алгебры представляют все собственные евклидовы изометрии, которые всегда являются винтовыми движениями в трехмерном пространстве, наряду со всеми несобственными евклидовыми изометриями, которые включают отражения, роторные отражения, трансфлексии и точечные отражения. PGA комбинируется с двойственным оператором для получения формул пересечения, объединения, расстояния и угла. В зависимости от автора, это может означать звезду Ходжа или проективную двойственность, хотя обе приводят к получению идентичных уравнений, хотя и с разным обозначением. По сути, двойственный оператор меняет местами базисные векторы, присутствующие и отсутствующие в выражении каждого члена алгебраического представления. Например, в PGA или трехмерном пространстве двойственная к линии \boldsymbol{e}_{12} является линия \boldsymbol{e}_{03}, поскольку \boldsymbol{e}_0, \boldsymbol{e}_3 являются базисными элементами, которые не содержатся в \boldsymbol{e}_{12}, но содержатся в \boldsymbol{e}_{03}. В PGA двухмерного пространства двойственная к \boldsymbol{e}_1 является \boldsymbol{e}_0, поскольку элемента \boldsymbol{e}_2 не существует. PGA – широко используемая система, сочетающая геометрическую алгебру с однородными представлениями в геометрии, но существуют и другие подобные системы. Конформная модель, обсуждаемая ниже, является однородной, как и "Коническая геометрическая алгебра", а также см. Геометрическую алгебру, основанную на плоскости, для обсуждения однородных моделей эллиптической и гиперболической геометрии по сравнению с евклидовой геометрией, выводимой из PGA.

Homogeneous models generally refer to a projective representation in which the elements of the one dimensional subspaces of a vector space represent points of a geometry. In a geometric algebra of a space of dimensions, the rotors represent a set of transformations with degrees of freedom, corresponding to rotations – for example, when and when 1= n=4 Geometric algebra is often used to model a projective space, i. e. as a homogeneous model: a point, line, plane, etc. is represented by an equivalence class of elements of the algebra that differ by an invertible scalar factor. The rotors in a space of dimension have degrees of freedom, the same as the number of degrees of freedom in the rotations and translations combined for an 1= n dimensional space. This is the case in Projective Geometric Algebra (PGA), which is used to represent Euclidean isometries in Euclidean geometry (thereby covering the large majority of engineering applications of geometry). In this model, a degenerate dimension is added to the three Euclidean dimensions to form the algebra 1= \mathcal{G}(3,0,1) With a suitable identification of subspaces to represent points, lines and planes, the versors of this algebra represent all proper Euclidean isometries, which are always screw motions in 3 dimensional space, along with all improper Euclidean isometries, which includes reflections, rotoreflections, transflections, and point reflections. PGA combines with a dual operator to obtain meet, join, distance, and angle formulae. Depending on the author, this could mean the Hodge star or the projective dual, though both result in identical equations being derived, albeit with different notation. In effect, the dual switches basis vectors that are present and absent in the expression of each term of the algebraic representation. For example, in the PGA or 3 dimensional space, the dual of the line is the line 1= \boldsymbol{e} {03} , because and are basis elements that are not contained in but are contained in 1= \boldsymbol{e} {03} In the PGA of 2 dimensional space, the dual of is 1= \boldsymbol{e} {0} , since there is no element. PGA is a widely used system that combines geometric algebra with homogeneous representations in geometry, but there exist several other such systems. The conformal model discussed below is homogeneous, as is "Conic Geometric Algebra", and see Plane based geometric algebra for discussion of homogeneous models of elliptic and hyperbolic geometry compared with the euclidean geometry derived from PGA.

До 20-го века

Хотя связь геометрии с алгеброй восходит, по крайней мере, к «Началам» Евклида в третьем веке до н.э. (см. Греческая геометрическая алгебра), геометрическая алгебра (ГА) в смысле, используемом в этой статье, не была разработана до 1844 года, когда она была систематически применена для описания геометрических свойств и преобразований пространства. В том году Герман Грассман представил идею геометрической алгебры в полной общности как определенного исчисления (аналогичного логическому исчислению), кодирующего всю геометрическую информацию пространства. Алгебраическая система Грассмана могла применяться к различным типам пространств, главными из которых являются евклидово, аффинное и проективное пространства. После Грассмана, в 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд исследовал алгебраическую систему Грассмана вместе с кватернионами Уильяма Роуэна Гамильтона. С его точки зрения, кватернионы описывали определенные преобразования (которые он называл роторами), в то время как алгебра Грассмана описывала определенные свойства (или «Штрекены», такие как длина, площадь и объем). Его вклад заключался в определении нового произведения – геометрического произведения – на существующей алгебре Грассмана, которое реализовало кватернионы как часть этой алгебры. Впоследствии, в 1886 году Рудольф Липшиц обобщил интерпретацию Клиффорда кватернионов и применил их к геометрии вращений в 1= n измерениях. Позже эти разработки привели к тому, что другие математики двадцатого века формализовали и исследовали свойства алгебры Клиффорда. Тем не менее, другое революционное развитие девятнадцатого века полностью затмило геометрические алгебры: векторный анализ, разработанный независимо Джозией Виллардом Гиббсом и Оливером Хэвисайдом. Векторный анализ был мотивирован исследованиями Джеймса Клерка Максвелла в области электромагнетизма и, в частности, необходимостью удобно выражать и манипулировать определенными дифференциальными уравнениями. Векторный анализ обладал определенной интуитивной привлекательностью по сравнению со строгостью новых алгебр. Физики и математики охотно приняли его в качестве своего основного геометрического инструментария, особенно после влиятельного учебника 1901 года «Векторный анализ» Эдвина Бидвелла Уилсона, основанного на лекциях Гиббса. Более подробно, можно выделить три подхода к геометрической алгебре: кватернионный анализ, начатый Гамильтоном в 1843 году и геометризованный как роторы Клиффордом в 1878 году; геометрическая алгебра, начатая Грассманом в 1844 году; и векторный анализ, развившийся из кватернионного анализа в конце девятнадцатого века благодаря Гиббсу и Хэвисайду. Наследие кватернионного анализа в векторном анализе проявляется в использовании 1= i, 1= j, 1= k для обозначения базисных векторов 1= \mathbf{R}^3: они рассматриваются как чисто мнимые кватернионы. С точки зрения геометрической алгебры, четкая подалгебра пространственно-временной алгебры изоморфна ГА 3D евклидова пространства, а кватернионы изоморфны четкой подалгебре ГА 3D евклидова пространства, что объединяет все три подхода.

Although the connection of geometry with algebra dates as far back at least to Euclid's Elements in the third century B. C. (see Greek geometric algebra), GA in the sense used in this article was not developed until 1844, when it was used in a systematic way to describe the geometrical properties and transformations of a space. In that year, Hermann Grassmann introduced the idea of a geometrical algebra in full generality as a certain calculus (analogous to the propositional calculus) that encoded all of the geometrical information of a space. Grassmann's algebraic system could be applied to a number of different kinds of spaces, the chief among them being Euclidean space, affine space, and projective space. Following Grassmann, in 1878 William Kingdon Clifford examined Grassmann's algebraic system alongside the quaternions of William Rowan Hamilton in From his point of view, the quaternions described certain transformations (which he called rotors), whereas Grassmann's algebra described certain properties (or Strecken such as length, area, and volume). His contribution was to define a new product – the geometric product – on an existing Grassmann algebra, which realized the quaternions as living within that algebra. Subsequently, Rudolf Lipschitz in 1886 generalized Clifford's interpretation of the quaternions and applied them to the geometry of rotations in 1= n dimensions. Later these developments would lead other 20th century mathematicians to formalize and explore the properties of the Clifford algebra. Nevertheless, another revolutionary development of the 19th century would completely overshadow the geometric algebras: that of vector analysis, developed independently by Josiah Willard Gibbs and Oliver Heaviside. Vector analysis was motivated by James Clerk Maxwell's studies of electromagnetism, and specifically the need to express and manipulate conveniently certain differential equations. Vector analysis had a certain intuitive appeal compared to the rigors of the new algebras. Physicists and mathematicians alike readily adopted it as their geometrical toolkit of choice, particularly following the influential 1901 textbook Vector Analysis by Edwin Bidwell Wilson, following lectures of Gibbs. In more detail, there have been three approaches to geometric algebra: quaternionic analysis, initiated by Hamilton in 1843 and geometrized as rotors by Clifford in 1878; geometric algebra, initiated by Grassmann in 1844; and vector analysis, developed out of quaternionic analysis in the late 19th century by Gibbs and Heaviside. The legacy of quaternionic analysis in vector analysis can be seen in the use of 1= i , 1= j , 1= k to indicate the basis vectors of 1= \mathbf{R}^3 : it is being thought of as the purely imaginary quaternions. From the perspective of geometric algebra, the even subalgebra of the Space Time Algebra is isomorphic to the GA of 3D Euclidean space and quaternions are isomorphic to the even subalgebra of the GA of 3D Euclidean space, which unifies the three approaches.

XX век и настоящее время

Прогресс в изучении клиффордовых алгебр незаметно продолжался в течение двадцатого века, хотя и во многом благодаря работам абстрактных алгебраистов, таких как Эли Картан, Герман Вейль и Клод Шевалье. Геометрический подход к геометрическим алгебрам пережил несколько возрождений в XX веке. В математике геометрическая алгебра Эмиля Артина рассматривает алгебру, связанную с различными геометриями, включая аффинную, проективную, симплектическую и ортогональную геометрии. В физике геометрические алгебры были возрождены как "новый" способ описания классической механики и электромагнетизма, а также более сложных областей, таких как квантовая механика и теория калибровочных полей. Дэвид Хестен переинтерпретировал матрицы Паули и Дирака как векторы в обычном пространстве и пространстве-времени соответственно и является одним из главных современных сторонников использования геометрических алгебр. В компьютерной графике и робототехнике геометрические алгебры были вновь использованы для эффективного представления вращений и других преобразований. О применении ГА в робототехнике (теория винтов, кинематика и динамика с использованием версоров), компьютерном зрении, управлении и нейронных вычислениях (геометрическое обучение) см. Bayro (2010).