Введение

Математическая функция в линейной алгебре

В математике, и в особенности в линейной алгебре, линейное отображение (также называемое линейным преобразованием, гомоморфизмом векторного пространства или, в некоторых контекстах, линейной функцией) — это отображение между двумя векторными пространствами, сохраняющее операции сложения векторов и умножения на скаляр. Те же названия и то же определение используются и для более общего случая модулей над кольцом; см. Гомоморфизм модуля. Если линейное отображение является биекцией, то оно называется линейным изоморфизмом. В случае, когда , линейное отображение называется линейным эндоморфизмом. Иногда термин «линейный оператор» относится к этому случаю, но термин «линейный оператор» может иметь различные значения в зависимости от принятых соглашений: например, он может использоваться для подчеркивания того, что и являются вещественными векторными пространствами (не обязательно с ), или для подчеркивания того, что является функциональным пространством, что является распространенным соглашением в функциональном анализе. Иногда термин «линейная функция» имеет то же значение, что и «линейное отображение», в то время как в анализе это не так. Линейное отображение из всегда отображает начало координат в начало координат . Кроме того, оно отображает линейные подпространства в линейные подпространства в (возможно, меньшей размерности); например, оно отображает плоскость, проходящую через начало координат в , либо в плоскость, проходящую через начало координат в , либо в прямую, проходящую через начало координат в , либо просто в начало координат в . Линейные отображения часто могут быть представлены в виде матриц, а простые примеры включают в себя вращение и отражение как линейные преобразования. На языке теории категорий линейные отображения являются морфизмами векторных пространств.

Примеры

Прототипичным примером, дающим линейным отображениям их название, является функция, график которой представляет собой прямую, проходящую через начало координат. В более общем случае, любая гомотетия с центром в начале координат векторного пространства является линейным отображением (здесь c – скаляр). Нулевое отображение между двумя векторными пространствами (над одним и тем же полем) является линейным. Отображение тождества на любом модуле является линейным оператором. Для действительных чисел отображение не является линейным. Для действительных чисел отображение не является линейным (но является аффинным преобразованием). Если является вещественной матрицей, то определяет линейное отображение из в , отображая столбец-вектор в столбец-вектор. И наоборот, любое линейное отображение между конечномерными векторными пространствами может быть представлено таким образом; см. ниже. Если является изометрией между вещественными нормированными пространствами, такой что , то является линейным отображением. Этот результат не обязательно верен для комплексных нормированных пространств. Дифференцирование определяет линейное отображение из пространства всех дифференцируемых функций в пространство всех функций. Оно также определяет линейный оператор на пространстве всех гладких функций (линейный оператор – это линейный эндоморфизм, то есть линейное отображение с одинаковой областью определения и областью значений). Действительно, определенный интеграл на некотором интервале I является линейным отображением из пространства всех вещественнозначных интегрируемых функций на I в пространство функций. Действительно, неопределенный интеграл (или антипроизводная) с фиксированной начальной точкой интегрирования определяет линейное отображение из пространства всех вещественнозначных интегрируемых функций на пространство всех вещественнозначных дифференцируемых функций на . Без фиксированной начальной точки антипроизводная отображается в фактор-пространство дифференцируемых функций по линейному пространству постоянных функций. Если и – конечномерные векторные пространства над полем F, соответствующих размерностей m и n, то функция, которая отображает линейные отображения в матрицы n × m способом, описанным ниже, является линейным отображением и даже линейным изоморфизмом. Математическое ожидание случайной величины (которая, по сути, является функцией и, следовательно, элементом векторного пространства) является линейным, поскольку для случайных величин и у нас есть и , но дисперсия случайной величины не является линейной.

Векторное пространство линейных карт

Составление линейных отображений является линейным: если f и g линейны, то и их композиция также линейна. Из этого следует, что класс всех векторных пространств над данным полем K, вместе с K-линейными отображениями в качестве морфизмов, образует категорию. Обратное к линейному отображению, когда оно определено, снова является линейным отображением. Если f и g линейны, то их поточечное сложение f + g, определяемое как (f + g)(v) = f(v) + g(v), также линейно. Если f линейно и c – элемент поля K, то отображение cf, определяемое как (cf)(v) = c(f(v)), также линейно. Таким образом, множество всех линейных отображений из V в V образует векторное пространство над K, иногда обозначаемое как Hom(V, V). Более того, в случае, когда V = K, это векторное пространство, обозначаемое как End(V), является ассоциативной алгеброй относительно композиции отображений, поскольку композиция двух линейных отображений снова является линейным отображением, а композиция отображений всегда ассоциативна. Этот случай рассматривается более подробно ниже. В конечномерном случае, если выбраны базисы, то составление линейных отображений соответствует умножению матриц, сложение линейных отображений соответствует сложению матриц, а умножение линейных отображений на скаляры соответствует умножению матриц на скаляры.

Эндоморфизмы и автоморфизмы

Линейное преобразование — это эндоморфизм ; множество всех таких эндоморфизмов вместе со сложением, композицией и скалярным умножением, как определено выше, образует ассоциативную алгебру с единичным элементом над полем (и, в частности, кольцо). Единичным элементом этой алгебры является тождественное отображение. Эндоморфизм, который также является изоморфизмом, называется автоморфизмом. Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, и множество всех автоморфизмов образует группу, группу автоморфизмов которой обозначают или . Поскольку автоморфизмы — это именно те эндоморфизмы, которые имеют обратные по композиции, то является группой обратимых элементов в кольце . Если имеет конечную размерность , то изоморфно ассоциативной алгебре всех -матриц с элементами из поля . Группа автоморфизмов изоморфна общей линейной группе всех невырожденных (обратимых) -матриц с элементами из поля .

Алгебраические классификации линейных преобразований

Никакая классификация линейных отображений не может быть исчерпывающей. Следующий неполный список перечисляет некоторые важные классификации, не требующие какой-либо дополнительной структуры на векторном пространстве. Пусть V и W обозначают векторные пространства над полем F, и пусть T: V → W — линейное отображение.

Непрерывность

Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами, например, нормированными пространствами, может быть непрерывным. Если область определения и область значений совпадают, то оно будет непрерывным линейным оператором. Линейный оператор в нормированном линейном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен, например, когда область определения конечномерна. В бесконечномерной области определения могут существовать разрывные линейные операторы. Примером неограниченного, а следовательно, и разрывного линейного преобразования является дифференцирование на пространстве гладких функций, снабженном супремум-нормой (функция с малыми значениями может иметь производную с большими значениями, в то время как производная от 0 равна 0). В качестве конкретного примера, sin(nx)/n сходится к 0, но её производная cos(nx) не сходится, поэтому дифференцирование не является непрерывным в точке 0 (и, по вариации этого аргумента, ни в какой точке).

Приложения

Специфическое применение линейных отображений – это геометрические преобразования, такие как те, что используются в компьютерной графике, где сдвиг, вращение и масштабирование 2D или 3D объектов выполняются с помощью матрицы преобразования. Линейные отображения также используются как механизм для описания изменений: например, в математическом анализе они соответствуют производным, а в теории относительности – как средство отслеживания локальных преобразований систем отсчета. Другое применение этих преобразований – в оптимизации компилятором кода вложенных циклов и в методах параллельной компиляции.