Введение
Алгебраический объект с упорядоченной структурой
В математике упорядоченное поле — это поле вместе с полным порядком на его элементах, совместимым с операциями поля. Основными примерами упорядоченных полей являются рациональные и действительные числа, каждое со своим стандартным порядком. Любое подполе упорядоченного поля также является упорядоченным полем в индуцированном порядке. Любое упорядоченное поле содержит упорядоченное подполе, изоморфное рациональным числам. Любое дедекиндовски-полное упорядоченное поле изоморфно действительным числам. В упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен. Это означает, что комплексные числа нельзя упорядочить, поскольку квадрат мнимой единицы i равен -1 (который отрицателен в любом упорядоченном поле). Конечные поля нельзя упорядочить. Исторически аксиоматизация упорядоченного поля постепенно выводилась из свойств действительных чисел математиками, включая Давида Гильберта, Отто Хёльдера и Ганса Хана. Это привело к развитию теории упорядоченных полей и формально вещественных полей Артина — Шрейера.
In mathematics, an ordered field is a field together with a total ordering of its elements that is compatible with the field operations. Basic examples of ordered fields are the rational numbers and the real numbers, both with their standard orderings. Every subfield of an ordered field is also an ordered field in the inherited order. Every ordered field contains an ordered subfield that is isomorphic to the rational numbers. Every Dedekind complete ordered field is isomorphic to the reals. Squares are necessarily non negative in an ordered field. This implies that the complex numbers cannot be ordered since the square of the imaginary unit i is (which is negative in any ordered field). Finite fields cannot be ordered. Historically, the axiomatization of an ordered field was abstracted gradually from the real numbers, by mathematicians including David Hilbert, Otto Hölder and Hans Hahn. This grew eventually into the Artin–Schreier theory of ordered fields and formally real fields.
Определения
Существует два эквивалентных общепринятых определения упорядоченного поля. Исторически первым появилось определение полного порядка, представляющее собой аксиоматизацию первого порядка отношения порядка как бинарного предиката. Артин и Шрайер дали определение в терминах положительного конуса в 1926 году, которое аксиоматизирует подмножество неотрицательных элементов. Хотя последнее является аксиоматизацией более высокого порядка, рассмотрение положительных конусов как максимальных предпозитивных конусов предоставляет более широкий контекст, в котором упорядочения поля являются экстремальными частичными упорядочениями.
Векторные пространства над упорядоченным полем
Векторные пространства (особенно n-мерные) над упорядоченным полем обладают некоторыми особыми свойствами и имеют определенные структуры, а именно: ориентацию, выпуклость и положительно определенный скалярный продукт. Подробное обсуждение этих свойств Rn можно найти в разделе Реальное координатное пространство#Геометрические свойства и применение, которые могут быть обобщены на векторные пространства над другими упорядоченными полями.
Порядочность полей
Каждое упорядоченное поле является формально вещественным полем, то есть 0 нельзя представить в виде суммы ненулевых квадратов. И наоборот, каждое формально вещественное поле можно снабдить совместимым полным порядком, который превратит его в упорядоченное поле. (Этот порядок не обязательно должен быть единственным.) Доказательство использует лемму Зорна. Конечные поля и, в более общем случае, поля положительной характеристики нельзя превратить в упорядоченные поля, как было показано выше. Комплексные числа также нельзя превратить в упорядоченное поле, поскольку −1 является квадратом мнимой единицы i. Кроме того, p-адические числа нельзя упорядочить, так как, согласно лемме Гензеля, Q₂ содержит квадратный корень из −7, следовательно, 1² + 1² + 1² + 2² + (√2)² = 0, а Qₚ (p > 2) содержит квадратный корень из 1 − p, следовательно, (p − 1)⋅1² + 2 = 0.
Топология, вызванная порядком
Если F снабжена топологией порядка, порожденной полным порядком ≤, то аксиомы гарантируют непрерывность операций + и ×, таким образом, F является топологическим полем.
Топология Харрисона
Топология Харрисона — это топология на множестве упорядочений XF формально вещественного поля F. Каждое упорядочение можно рассматривать как мультипликативный групповой гомоморфизм из F∗ в ±1. Наделённые дискретной топологией ±1 и топологией произведения ±1F индуцируют на XF субпространственную топологию. Множества Харрисона образуют подбазис для топологии Харрисона. Пространство произведения является булевым пространством (компактным, хаусдорфовым и совершенно несвязным), а XF — замкнутым подмножеством, следовательно, также булевым.
Вентиляторы и суперпорядочные поля
Вентилятор на F — это предзаказ T, обладающий следующим свойством: если S — подгруппа индекса 2 в F*, содержащая T − {0} и не содержащая −1, то S является упорядочением (то есть S замкнута относительно сложения). Суперупорядоченное поле — это вполне реальное поле, в котором множество сумм квадратов образует вентилятор.