Введение

Вид трансфинитной индукции В теории множеств индукция, также называемая эпсилонской индукцией или индукцией множеств, является принципом, который может быть использован для доказательства того, что все множества удовлетворяют данному свойству. Рассматривая его как аксиоматический принцип, он называется аксиоматической схемой индукции множеств. Принцип предполагает трансфинитную индукцию и рекурсию. Его также можно изучать в общем контексте индукции на хорошо обоснованные отношения.

Связанные понятия индукции

Экспорт доказывает, что если для некоторого предиката , то следует, что где определяется как если является универсальным классом, то это снова просто инстанция схемы. Но действительно, если есть какой-либо переходный класс, то все еще и версия множества индукции для держит внутри .

Оригиналы

Ординалы могут быть определены как переходные множества переходных множеств. Ситуация индукции в первом бесконечном порядковом числе, множестве натуральных чисел, обсуждается более подробно ниже. Поскольку индукция множеств позволяет индукцию в транзитивных множествах, содержащих , это дает то, что называется трансфинитной индукцией и определением трансфинитной рекурсией, используя, действительно, весь собственный класс порядковых чисел. При ординалах индукция доказывает, что все множества имеют ординал, а ординал - это сам порядок. Теория ординала фон Неймана описывает такие множества и моделирует порядок отношений, которые классически являются доказуемо трихотомными и тотальными. Интересна следующая операция, которая сопоставляет порядковые числа с порядковыми. В классическом случае, шаг индукции для последовательных порядковых чисел может быть упрощен таким образом, что свойство должно просто сохраняться между последовательными порядковыми числами (это формулировка, которая обычно понимается как трансфинитная индукция). Сцены хорошо основаны.

Основанные отношения

Для двоичной связи на множестве, хорошо обоснованность может быть определена путем требования индивидуального индукционного свойства: в условии абстрагируется до , т. е. всегда предполагается вместо пересечения, используемого в вышеуказанном утверждении. Можно показать, что для хорошо обоснованного отношения нет бесконечных нисходящих последовательностей, и поэтому, кроме того, определение функции рекурсией с может быть определено на их областях и так далее. Классически, хорошо обоснованность отношения на множестве может также характеризоваться сильным свойством существования минимального элемента для каждого подмножества. При зависимом выборе он также может характеризоваться слабым свойством несуществования бесконечных нисходящих цепей.

Бесконечные нисходящие цепи

Предшественник в вышеуказанном следствии может быть выражен как: "Это верно для пустого множества вакуумно". При наличии любой нисходящей цепи членства как функции на , аксиома замены доказывает существование множества, которое также выполняет это. Таким образом, предположение о принципе индукции делает существование такой цепи противоречивым. В этом пункте, предположим, аксиома зависимого выбора вместо принципа индукции. Любые последствия вышеуказанного предыдущего также подразумеваются в утверждении, полученном путем удаления двойного отрицания, которое конструктивно является более сильным условием. Рассмотрим набор с этим свойством. Предполагая, что множество населено, зависимый выбор подразумевает существование бесконечной нисходящей цепи членства в качестве последовательности, т. е. функции на натуралах. Таким образом, установление (или даже постулирование) несуществования такой цепи для множества с свойством подразумевает, что предположение было ошибочным, т. е. также Так что индукция множества относится к постулату несуществования бесконечных нисходящих цепей. Но учитывая дополнительные предположения, необходимые в последнем случае, простое постулат несуществования относительно слабый в сравнении.

Самостоятельное членство

Для противоречия предположим, что существует населенное множество с особым свойством, что оно равно собственному одиночному множеству, формально, , из которого следует, что , а также, что все члены разделяют все его свойства, например, из предыдущей формы принципа следует, что , противоречие. Так что в терминах отрицательного предиката, предикат , означает множество, которое демонстрирует имеет определяющие свойства Используя обозначение конструктора множества, мы имеем дело с Предполагая специальное свойство , любое пустое пересечение утверждение упрощает просто принцип формулировки в терминах сводится к , опять же противоречие. Возвращаясь к самой первоначальной формулировке, делается вывод, что и является просто доменом всех множеств. В теории с индукцией множеств, a с описанным рекурсивным свойством на самом деле не является множеством. Аналогичный анализ может быть применен и к более сложным сценариям. Например, если и были обеими множествами, то обитаемое будет существовать путем сочетания, но это также имеет свойство.

История

Из-за его использования в теоретическом лечении ординалами, аксиома регулярности была сформулирована фон Нейманом в 1925 году. Его мотивация восходит к обсуждению Сколемом в 1922 году бесконечных нисходящих цепей в теории множеств Зермело, теории без регулярности или замены. Теория не доказывает все случаи индукции множеств. Регулярность классически эквивалентна контрапозитиву индукции множества для отрицательных утверждений, как было показано. Переход от сетов к классам показан ниже.

Существование транзитивных множеств

Вышеуказанное доказательство предполагает существование некоторого переходного множества, содержащего любое данное множество. Это можно постулировать, как аксиому транзитивного ограничения. Существование более сильного транзитивного закрытия в отношении членства, для любого множества, также может быть получено из некоторых более сильных стандартных аксиомов. Для этого нужна аксиома бесконечности для как множества, рекурсивных функций на , аксиома замены на и, наконец, аксиома союза. То есть, ему нужно много стандартных аксиом, просто сберегая аксиому powerset. В контексте без сильного разделения, возможно, придется принять подходящие принципы функционального пространства, чтобы обеспечить рекурсивное определение функции. минус бесконечность также только доказывает существование транзитивных закрытий, когда регулярность продвигается к индукции множества.