Введение

По серии степеней с рациональными показателями В математике, Пуссео серии являются обобщением сил степеней, которые позволяют отрицательные и дробные показатели неопределенного. Например, ряд представляет собой ряд Пуэзо в неопределенном x. Ряд Пуэзо был впервые представлен Исааком Ньютоном в 1676 году и вновь открыт Виктором Пуэзо в 1850 году. Определение ряда Пуэзо включает в себя то, что знаменатели показателей должны быть ограниченными. Таким образом, уменьшая показатели до общего знаменателя n, ряд Пузе становится рядом Лоранта в n-м корне неопределенного. Например, приведенный выше пример представляет собой ряд Лоран в n-м корнях, потому что комплексный ряд Puiseux обычно определяет n функций в районе 0. Теорема Пуэзо, иногда также называемая теоремой НьютонаПуэзо, утверждает, что, учитывая многочленное уравнение с комплексными коэффициентами, его решения в y, рассматриваемые как функции x, могут быть расширены как ряд Пуэзо в x, которые сходятся в некоторой окрестности 0. Другими словами, каждая ветвь алгебраической кривой может быть локально описана рядом Пуэзо в x (или в, когда рассматриваются ветви выше соседства). Используя современную терминологию, теорема Пуэзо утверждает, что множество рядов Пуэзо над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 само по себе является алгебраически замкнутым полем, называемым полем ряда Пуэзо. Это алгебраическое закрытие поля формального ряда Лоранта, которое само по себе является полем дробей кольца формального ряда степеней.

Оценка и порядок по коэффициентам

Если базовое поле упорядочено, то поле ряда Пуссо также естественным образом ( лексикографически) упорядочено следующим образом: не нулевая серия Пуссо с 0 объявляется положительной, когда ее коэффициент оценки таков. По сути, это означает, что любая положительная рациональная степень неопределенного становится положительной, но меньше, чем любой положительный элемент в базовом поле Если базовое поле наделено оценкой , то мы можем построить другую оценку на поле ряда Пуссо, оставив оценку где ранее определенная оценка (первый ненулевой коэффициент) и бесконечно большой (другими словами, группа значений о упорядочена лексикографически, где группа значений о). По сути, это означает, что ранее определенная оценка корректируется на бесконечно малую сумму, чтобы учесть оценку, данную в базовом поле.

Теорема Ньютона Пуссо

Еще в 1671 году Исаак Ньютон использовал ряды Пуэзо и доказал следующую теорему для приближения рядами корней алгебраических уравнений, коэффициенты которых являются функциями, которые сами приближаются рядами или полиномами. Для этого он ввел Ньютоновский полигон, который остается фундаментальным инструментом в этом контексте. Ньютон работал с укороченными рядами, и только в 1850 году Виктор Пуссо Теорема утверждает, что, учитывая алгебраическое уравнение, коэффициенты которого являются многочленами или, более обще, ряд Пуссо над полем с характерным нулем, каждое решение уравнения может быть выражено как ряд Пуссо. Более того, доказательство дает алгоритм вычисления этих рядов Пуэзо, и, когда работа над комплексными числами, полученные ряды конвергентны. В современной терминологии теорему можно переформулировать так: поле ряда Пуэзо над алгебраически замкнутым полем характеристики нуля и поле конвергентных рядов Пуэзо над комплексными числами, оба алгебраически закрыты.

Разделенный корпус

Способ рекурсивного применения метода ньютоновского многоугольника был описан ранее. Поскольку каждое применение метода может увеличивать, в разветвленном случае, знаменатели показателей (оценки), остается доказать, что человек достигает регулярного случая после конечного числа итераций (в противном случае знаменатели показателей полученного ряда не были бы ограниченными, и этот ряд не был бы рядом Пуэзо). Кстати, это также будет доказано, что получается точно столько же решений Пуэзо серии, как ожидается, то есть степень in y. Без потери обобщения можно предположить, что, действительно, каждый фактор y обеспечивает решение, которое является нулевым рядом Пуссо, и такие факторы могут быть вычтены. Поскольку характеристика должна быть нулевой, можно также предположить, что это квадратный свободный многочлен, то есть решения всех различных. Действительно, квадратная свободная факторизация использует только операции поля коэффициентов для факторирования на квадратные свободные факторы, которые могут быть решены отдельно. (Необходима гипотеза о характеристике нуля, поскольку в характеристике p квадратное свободное разложение может обеспечить необратимые факторы, такие как множественные корни в алгебраическом расширении.) В этом контексте длина края ньютоновского многоугольника определяется как разность абсцисс его конечных точек. Длина многоугольника - это сумма длин его краев. С гипотезой длина ньютоновского многоугольника P - это его степень в y, то есть число его корней. Длина края ньютоновского многоугольника - это число корней данной оценки. Это число равно степени ранее определенного многочлена Размазанный случай соответствует таким образом двум (или более) решениям, которые имеют один и тот же начальный термин. Поскольку эти решения должны быть различными (квадратная свободная гипотеза), их следует различать после конечного числа итераций. То есть, в конечном итоге получается многочлен, который свободен от квадратов, и вычисление может продолжаться как в регулярном случае для каждого корня из Как итерация регулярного случая не увеличивает знаменатели знаменателей, Это показывает, что метод предоставляет все решения как ряд Пуссе, то есть, что поле ряда Пуссе над комплексными числами является алгебраически закрытым полем, которое содержит одновариантное кольцо многочлена с комплексными коэффициентами.

Алгебраические кривые

Давайте выберем алгебраическую кривую, данную аффинным уравнением над алгебраически замкнутым полем с нулевой характеристикой, и рассмотрим точку, о которой мы можем предположить, что она также является Мы также предполагаем, что это не координатная ось Тогда расширение Пуссе (координаты) at является рядом Пуссе с положительной оценкой таким образом, что Более точно, давайте определим ветви at, чтобы быть точками нормализации, которые отображаются для каждого такого , есть локальная координата at (которая является гладкой точкой) такой, что координаты и могут быть выражены как формальные силовые ряды , скажем (поскольку алгебраически закрыта, мы можем предположить, что коэффициент оценки равен 1) и затем есть уникальный ряд Пуссе формы (порядка сил в ), что такое (последнее выражение имеет смысл, поскольку хорошо определено в ряде сил). Это расширение Пуйсо, которое, как говорят, связано с ветвью, данной at (или просто расширение Пуйсо этой ветви ), и каждое расширение Пуйсо дается таким образом для уникальной ветви at. Это существование формальной параметризации ветвей алгебраической кривой или функции также называется теоремой Пуйсо: оно, возможно, имеет то же математическое содержание, что и тот факт, что поле ряда Пуйсо алгебраически закрыто, и является исторически более точным описанием утверждения оригинального автора. Например, кривая (которая нормализована как прямая с координатами и картой) имеет две ветви в двойной точке (0,0), соответствующие точкам и на нормализации, чьи Пуйсовые расширения и соответственно (здесь оба являются силовыми рядами, потому что координата этале в соответствующих точках в нормализации). В гладкой точке (которая находится в нормализации) она имеет одну ветвь, данную Пуйсовым расширением (координаты разветвляются в этой точке, поэтому это не является силовым рядом). С другой стороны, кривая (которая нормализована снова как линия с координатами и картой) имеет одну ветвь в точке cusp , расширение которой по Пуэзо .

Аналитическая конвергенция

Когда поле представляет собой комплексные числа, то Пуйсовое расширение алгебраической кривой (как определено выше) является конвергентным в том смысле, что для данного выбора th корня из , они сходятся для достаточно маленьких , следовательно, определяют аналитическую параметризацию каждой ветви из в районе (точнее, параметризация является по th корню из).

Поле Леви-Сивита

Поле ряда Пуэзо не является полным как метрическое пространство. Его завершение, называемое полем Леви Цивита, можно описать следующим образом: это поле формальных выражений формы, где поддержка коэффициентов (то есть множество e такого, что ) является диапазоном возрастающей последовательности рациональных чисел, которая либо конечна, либо имеет тенденцию к Другими словами, такие ряды допускают показатели неограниченных знаменателей, при условии, что есть конечно много членов показателя меньше, чем для любой заданной границы Например, не является рядом Пуссо, но это предел последовательности Коши из рядов Пуссо; в частности, это предел а. Однако, даже это завершение все еще не "максимально полное" в том смысле, что оно допускает нетривиальные расширения, которые оцениваются как поля, имеющие одинаковые значения группы и поля остатка, следовательно, возможность завершить его еще больше.

Серия Хана

Ряд Ханна является дальнейшим (более крупным) обобщением ряда Пуэзо, введенным Гансом Ханном в ходе доказательства его теоремы встраивания в 1907 году, а затем изученным им в его подходе к семнадцатой проблеме Гильберта. В ряде Хана вместо того, чтобы требовать от экспонентов иметь ограниченный знаменатель, они должны образовывать хорошо упорядоченное подмножество группы значений (обычно или). Позже они были обобщены Анатолием Мальцевым и Бернардом Нойманом в некоммутативную настройку (поэтому они иногда известны как ряды Хана-Мальцева-Ноймана). Используя ряд Гана, можно дать описание алгебраического закрытия поля сил в положительной характеристике, которое несколько аналогично полю ряда Пуэзо.