Введение
В математике цилиндрические множества образуют базис топологии произведения на произведении множеств и являются также генерирующим семейством сигма-алгебры цилиндров.
Общее определение
Учитывая коллекцию множеств, рассмотрим декартово произведение всех множеств в этой коллекции. Каноническая проекция, соответствующая некоторому индексу, – это функция, отображающая каждый элемент произведения в его соответствующую компоненту. Цилиндрическое множество – это прообраз канонической проекции или конечное пересечение таких прообразов. Явно, это множество вида:
for any choice of , finite sequence of sets and subsets for
Then, when all sets in are topological spaces, the product topology is generated by cylinder sets corresponding to the components' open sets. That is cylinders of the form where for each , is open in In the same manner, in case of measurable spaces, the cylinder σ algebra is the one which is generated by cylinder sets corresponding to the components' measurable sets. The restriction that the cylinder set be the intersection of a finite number of open cylinders is important; allowing infinite intersections generally results in a finer topology. In the latter case, the resulting topology is the box topology; cylinder sets are never Hilbert cubes.
для любого выбора индексов, конечной последовательности множеств и подмножеств для .
for any choice of , finite sequence of sets and subsets for
Then, when all sets in are topological spaces, the product topology is generated by cylinder sets corresponding to the components' open sets. That is cylinders of the form where for each , is open in In the same manner, in case of measurable spaces, the cylinder σ algebra is the one which is generated by cylinder sets corresponding to the components' measurable sets. The restriction that the cylinder set be the intersection of a finite number of open cylinders is important; allowing infinite intersections generally results in a finer topology. In the latter case, the resulting topology is the box topology; cylinder sets are never Hilbert cubes.
Если все множества в коллекции – топологические пространства, то топология произведения порождается цилиндрическими множествами, соответствующими открытым множествам в компонентах. То есть, это цилиндры вида , где для каждого , открыто в . Аналогично, в случае измеримых пространств, цилиндрическая σ-алгебра – это алгебра, порожденная цилиндрическими множествами, соответствующими измеримым множествам в компонентах. Важно, чтобы цилиндрическое множество было пересечением конечного числа открытых цилиндров; разрешение бесконечных пересечений обычно приводит к более тонкой топологии. В последнем случае полученная топология является топологией коробки; цилиндрические множества никогда не являются кубами Гильберта.
for any choice of , finite sequence of sets and subsets for
Then, when all sets in are topological spaces, the product topology is generated by cylinder sets corresponding to the components' open sets. That is cylinders of the form where for each , is open in In the same manner, in case of measurable spaces, the cylinder σ algebra is the one which is generated by cylinder sets corresponding to the components' measurable sets. The restriction that the cylinder set be the intersection of a finite number of open cylinders is important; allowing infinite intersections generally results in a finer topology. In the latter case, the resulting topology is the box topology; cylinder sets are never Hilbert cubes.
Приложения
Цилиндрические множества часто используются для определения топологии на множествах, являющихся подмножествами, и часто встречаются в изучении символической динамики; например, в случае поддвига конечного типа. Цилиндрические множества также часто используются для определения меры, используя теорему расширения Колмогорова; например, мера цилиндрического множества длины m может быть задана как 1/m или 1/2^m. Цилиндрические множества могут быть использованы для определения метрики на пространстве: например, говорят, что две строки ε-близки, если доля совпадающих букв в этих строках составляет 1−ε. Поскольку строки в можно рассматривать как p-адические числа, некоторые результаты теории p-адических чисел могут быть применены к цилиндрическим множествам, и в частности, определения p-адических мер и p-адических метрик применимы к цилиндрическим множествам. Такие пространства с мерой возникают в теории динамических систем и называются несингулярными одометрами. Обобщением этих систем является Марковский одометр. Цилиндрические множества над топологическими векторными пространствами являются ключевым элементом в определении абстрактных пространств Винера, которые предоставляют формальное определение интеграла по траекториям Фейнмана, или функционального интеграла квантовой теории поля, а также функции разделения статистической механики.