Введение

Измеримое множество, мера которого равна нулю
множество без элементов
множество нулей функции

В математическом анализе, множество меры нуль — это измеримое по Лебегу множество действительных чисел, имеющее меру нуль. Это можно охарактеризовать как множество, которое можно покрыть счётным объединением интервалов произвольно малой общей длины. Понятие множества меры нуль не следует путать с пустым множеством, определённым в теории множеств. Хотя пустое множество имеет меру Лебега, равную нулю, существуют также непустые множества, являющиеся множествами меры нуль. Например, любое непустое счётное множество действительных чисел имеет меру Лебега, равную нулю, и, следовательно, является множеством меры нуль. В более общем случае, на заданном пространстве с мерой, множество меры нуль — это множество, такое, что

Примеры

Каждое конечное или счетно бесконечное подмножество действительных чисел является множеством меры нуль. Например, множество натуральных чисел и множество рациональных чисел оба счетно бесконечны и, следовательно, являются множествами меры нуль, рассматриваемые как подмножества действительных чисел. Множество Кантора является примером неисчислимого множества меры нуль.

Свойства

Пусть (X, Σ, μ) — пространство с мерой. Имеем: μ(∅) = 0 (по определению). Любое счетное объединение множеств меры нуль само является множеством меры нуль (по счетной субаддитивности). Любое (измеримое) подмножество множества меры нуль само является множеством меры нуль (по монотонности). Вместе эти факты показывают, что множества меры нуль образуют σ-идеал в σ-алгебре Σ. Соответственно, множества меры нуль можно интерпретировать как пренебрежимо малые множества, что дает возможность ввести понятие "почти всюду" в теории меры.

Применение

Нулевые множества играют ключевую роль в определении интеграла Лебега: если функции f и g равны почти всюду, то f интегрируема тогда и только тогда, когда g интегрируема, и их интегралы равны. Это мотивирует формальное определение L-пространств как множеств классов эквивалентности функций, различающихся только на нулевых множествах. Мера, в которой все подмножества нулевых множеств измеримы, называется полной. Любую неполную меру можно дополнить до полной, полагая, что подмножества нулевых множеств имеют меру нуль. Мера Лебега является примером полной меры; в некоторых построениях она определяется как дополнение неполной меры Бореля.

Подмножество множества Кантора, которое не является измеримым в Бореле

Мера Бореля не является полной. Один из простых способов построения – начать со стандартного множества Кантора, которое является замкнутым и, следовательно, измеримым по Борелю, и имеет меру нуль, а затем найти подмножество, которое не измеримо по Борелю. (Поскольку мера Лебега полная, это, конечно, измеримо по Лебегу.) Прежде всего, необходимо знать, что любое множество положительной меры содержит неизмеримое подмножество. Пусть – функция Кантора, непрерывная функция, локально постоянная на и монотонно возрастающая на с и Очевидно, счетно, поскольку оно содержит одну точку на каждую компоненту Следовательно, имеет меру нуль, а – меру один. Нам нужна строго монотонная функция, поэтому рассмотрим Поскольку строго монотонна и непрерывна, она является гомеоморфизмом. Кроме того, имеет меру один. Пусть неизмеримо, и пусть Поскольку инъективна, то и, следовательно, – множество меры нуль. Однако, если бы оно было измеримым по Борелю, то также было бы измеримым по Борелю (здесь мы используем тот факт, что прообраз борелевского множества при непрерывном отображении измерим; является прообразом через непрерывное отображение ). Следовательно, является множеством меры нуль, но не измеримым по Борелю.

Никаких волос.

В разделяемом банаховом пространстве групповая операция переводит любое подмножество в сдвиги для любого . Если существует мера вероятности μ на σ-алгебре борелевских подмножеств такая, что для всех , то является множеством Хаара меры нуль. Этот термин отражает инвариантность мер сдвигов относительно нуля, связывая её с полной инвариантностью, свойственной мере Хаара. Некоторые алгебраические свойства топологических групп связаны с размером подмножеств и множеств Хаара меры нуль. В польских группах множества Хаара меры нуль использовались для доказательства того, что если A не является неполным множеством, то содержит открытую окрестность единичного элемента. Это свойство названо в честь Хьюго Штейнхауса, поскольку является заключением теоремы Штейнхауса.