Введение

Мера, определенная на всех открытых множествах топологического пространства. В математике, в частности в теории меры, мера Бореля на топологическом пространстве — это мера, которая определена на всех открытых множествах (и, следовательно, на всех борелевских множествах). Некоторые авторы накладывают дополнительные ограничения на меру, как описано ниже.

Формальное определение

Пусть X — локально компактное пространство Хаусдорфа, и пусть B — наименьшая σ-алгебра, содержащая открытые множества X; она известна как σ-алгебра множеств Бореля. Борелевская мера — это любая мера μ, определенная на σ-алгебре множеств Бореля. Некоторые авторы дополнительно требуют, чтобы μ была локально конечной, то есть для каждого компактного множества K имелось бы μ(K) < ∞. Если борелевская мера μ является одновременно внутренней регулярной и внешней регулярной, она называется регулярной борелевской мерой. Если μ является одновременно внутренней регулярной, внешней регулярной и локально конечной, она называется мерой Радона.

На настоящую линию

Реальная прямая с её обычной топологией является локально компактным пространством Хаусдорфа, следовательно, на ней можно определить меру Бореля. В этом случае, это наименьшая σ-алгебра, содержащая открытые интервалы. Хотя существует множество мер Бореля μ, выбор меры Бореля, которая присваивает меру 1 каждому полуоткрытому интервалу, иногда называют "стандартной" мерой Бореля на ℝ. Эта мера оказывается ограничением Лебеговой меры λ на σ-алгебру Бореля, которая является полной мерой и определена на Лебеговой σ-алгебре. Лебегова σ-алгебра фактически является завершением σ-алгебры Бореля, что означает, что это наименьшая σ-алгебра, содержащая все множества Бореля и допускающая определение полной меры. Кроме того, мера Бореля и мера Лебега совпадают на множествах Бореля (то есть, для каждого измеримого по Борелю множества, где μ – мера Бореля, описанная выше). Эта идея распространяется на пространства с конечной размерностью (теорема Крамэра — Вольда, ниже), но в общем случае не выполняется для пространств с бесконечной размерностью. Лебеговы меры в бесконечномерных пространствах не существуют.

Пространства для продуктов

Если X и Y – второсоставные пространства Хаусдорфа, то множество борелевских подмножеств их произведения совпадает с произведением множеств борелевских подмножеств X и Y. Иными словами, функтор Бореля из категории второсоставных пространств Хаусдорфа в категорию измеримых пространств сохраняет конечные произведения.

Интеграл Лебег-Стильджеса

Интеграл Лебега — Стильтьеса — это обобщение интеграла Лебега, рассматриваемое относительно меры, известной как мера Лебега — Стильтьеса, которая может быть построена для любой функции ограниченной вариации на вещественной прямой. Мера Лебега — Стильтьеса является регулярной мерой Бореля, и, наоборот, любая регулярная мера Бореля на вещественной прямой может быть представлена в таком виде.

Теорема Крамера-Волда

Теорема Крэмера — Вольда в теории меры утверждает, что борелевская мера вероятности на ℝⁿ однозначно определяется совокупностью своих одномерных проекций. Она используется как метод доказательства результатов совместной сходимости. Теорема названа в честь Харальда Крэмера и Германа Оле Андреаса Вольда.