Введение

Движение частиц в жидкости и потоки в теории графов

В математике поток формализует идею движения частиц в жидкости. Потоки широко распространены в науке, включая инженерию и физику. Понятие потока является основополагающим для изучения обыкновенных дифференциальных уравнений. Неформально, поток можно представить как непрерывное движение точек во времени. Более формально, поток – это групповое действие вещественных чисел на множестве. Идея векторного потока, то есть потока, определяемого векторным полем, встречается в областях дифференциальной топологии, римановой геометрии и групп Ли. Конкретные примеры векторных потоков включают геодезический поток, гамильтонов поток, поток Риччи, поток средней кривизны и потоки Аносова. Потоки также могут быть определены для систем случайных величин и стохастических процессов и возникают при изучении эргодических динамических систем. Наиболее известным из них, пожалуй, является поток Бернулли.

Альтернативные обозначения

Очень часто во многих областях, включая инженерию, физику и изучение дифференциальных уравнений, используется обозначение, которое делает описание потока неявным. Таким образом, x(t) записывается как φ^t(x₀), и можно сказать, что переменная x зависит от времени t и начального условия x = x₀. Примеры приведены ниже. В случае потока векторного поля V на гладком многообразии X, поток часто обозначается таким образом, чтобы его генератор был явно указан. Например,

Орбиты

При заданном x из X, множество называется орбитой x относительно φ. Неформально, его можно рассматривать как траекторию частицы, изначально находящейся в точке x. Если поток генерируется векторным полем, то его орбиты являются образами интегральных кривых этого поля.

Алгебраическое уравнение

Пусть f: \R \to X — зависящая от времени траектория, являющаяся биективным отображением. Тогда поток можно определить следующим образом:

Потоки векторных полей на коллекторах

Потоки векторных полей, не зависящие от времени и зависящие от времени, определены на гладких многообразиях точно так же, как и на евклидовом пространстве \R^n, и их локальное поведение одинаково. Однако глобальная топологическая структура гладкого многообразия существенно влияет на то, какие глобальные векторные поля оно может поддерживать, и потоки векторных полей на гладких многообразиях действительно являются важным инструментом в дифференциальной топологии. Большая часть исследований в области динамических систем проводится на гладких многообразиях, которые в приложениях рассматриваются как "пространства параметров". Формально: пусть M – дифференцируемое многообразие. Пусть T_xM обозначает тангентное пространство в точке x. Пусть TM – полное тангентное многообразие; то есть, TM = ⋃_{x∈M} T_xM. Пусть f(t, x) – векторное поле, зависящее от времени на M; то есть, f – гладкое отображение, такое что для каждого t и x ∈ M выполняется f(t, x) ∈ T_xM, то есть отображение f отображает каждую точку в элемент своего тангентного пространства. Для подходящего интервала I, содержащего 0, поток f – это функция Φ(t, x), удовлетворяющая условиям:

Поток Бернулли

Эргодические динамические системы, то есть системы, проявляющие случайность, также демонстрируют потоки. Наиболее известным из них, пожалуй, является поток Бернулли. Теорема об изоморфизме Орнштейна утверждает, что для любой заданной энтропии H существует поток φ(x, t), называемый потоком Бернулли, такой, что поток в момент времени t = 1, то есть φ(x, 1), является сдвигом Бернулли. Более того, этот поток уникален с точностью до постоянного масштабирования времени. То есть, если ψ(x, t) – другой поток с той же энтропией, то ψ(x, t) = φ(cx, t) для некоторой постоянной c. Понятие уникальности и изоморфизма здесь соответствует изоморфизму динамических систем. Многие динамические системы, включая бильярд Синая и потоки Аносова, изоморфны сдвигам Бернулли.