Введение

В общей теории относительности аргумент о дыре — кажущийся парадокс, который сильно беспокоил Альберта Эйнштейна при разработке его знаменитых уравнений поля. Некоторые философы физики считают, что этот аргумент поднимает проблему многообразного субстанциализма — учения о том, что многообразие событий в пространстве-времени является "субстанцией", существующей независимо от метрического поля, определенного на нём, или материи, содержащейся в нём. Другие философы и физики не согласны с этой интерпретацией и рассматривают аргумент как недоразумение, связанное с калибровочной инвариантностью и выбором калибровки.

Аргумент Эйнштейна о дыре

В обычном уравнении поля знание источника поля и граничных условий определяет поле повсюду. Например, если заданы ток и плотность заряда вместе с соответствующими граничными условиями, уравнения Максвелла определяют электрическое и магнитное поля. Однако они не определяют векторный потенциал, поскольку векторный потенциал зависит от произвольного выбора калибровки. Эйнштейн заметил, что если уравнения гравитации обладают общей ковариантностью, то метрика не может быть однозначно определена своими источниками как функцией координат пространства-времени. В качестве примера рассмотрим гравитационный источник, такой как Солнце. Тогда существует некоторое гравитационное поле, описываемое метрикой g(r). Теперь выполним преобразование координат r → r', где r' совпадает с r для точек внутри Солнца, но отличается от r вне Солнца. Координатное описание внутренней части Солнца не изменяется при этом преобразовании, но функциональная форма метрики g' для новых координатных значений за пределами Солнца меняется. В силу общей ковариантности уравнений поля, эта преобразованная метрика g' также является решением в исходной системе координат. Это означает, что один и тот же источник, Солнце, может быть источником множества, казалось бы, различных метрик. Решение очевидно: любые два поля, различающиеся только таким «дырочным» преобразованием, физически эквивалентны, подобно двум различным векторным потенциалам, различающимся преобразованием калибровки. Следовательно, все эти математически различные решения физически неразличимы — они представляют собой одно и то же физическое решение уравнений поля. Существует множество вариаций этого кажущегося парадокса. В одной из них рассмотрим начальную поверхность с заданными данными и найдем метрику как функцию времени. Затем выполним преобразование координат, которое перемещает точки в будущем начальной поверхности, но не влияет на саму начальную поверхность или на точки на бесконечности. Вывод может быть таким, что общековариантные уравнения поля не определяют будущее однозначно, поскольку эта новая преобразованная метрика является столь же допустимым решением тех же уравнений поля в исходной системе координат. Таким образом, задача начальных условий не имеет единственного решения в общей теории относительности. То же самое справедливо и в электродинамике — можно выполнить преобразование калибровки, которое повлияет только на векторный потенциал в будущем. Решение в обоих случаях заключается в использовании дополнительных условий для фиксации калибровки.

Оспорение вышеуказанной версии аргумента Эйнштейна о дыре

Вывод уравнений гравитационного поля Эйнштейна был задержан из-за аргумента о «дыре», который он сформулировал в 1913 году. Однако проблема заключалась не в том, как это представлено в вышеуказанном разделе. К 1912 году, когда Эйнштейн начал то, что он назвал своей «борьбой со смыслом координат», он уже знал, что следует искать тензорные уравнения, поскольку они не зависят от выбора системы координат. Он уже нашел форму гравитационного поля (в виде тетрады, поля фреймов или метрики) и уравнения движения материи в заданном гравитационном поле (которые следуют из максимизации собственного времени, определяемого ). Очевидно, что это инвариантно относительно преобразований координат. Его беспокоило следствие принципа общей ковариантности, вытекающее из следующего. Общая ковариантность утверждает, что законы физики должны иметь одну и ту же математическую форму во всех системах отсчета (ускоряющихся или нет) и, следовательно, во всех системах координат. Таким образом, дифференциальные уравнения, представляющие собой уравнения гравитационного поля, должны иметь одну и ту же математическую форму во всех системах координат. Иными словами, для двух систем координат, скажем, координат и координат , необходимо решать одно и то же дифференциальное уравнение, за исключением того, что в одной системе независимой переменной является , а в другой – . Это означает, что как только найдена метрическая функция в системе координат , удовлетворяющая уравнениям поля, можно просто записать ту же функцию, заменив все на , что будет решением уравнений поля в системе координат . Поскольку эти два решения имеют одинаковую функциональную форму, но относятся к разным системам координат, они определяют различные геометрии пространства-времени. Следует отметить, что это второе решение не связано с первым преобразованием координат, но тем не менее является решением. Вот проблема, которая так сильно беспокоила Эйнштейна: если эти системы координат отличаются только после , то существует два решения, имеющих одинаковые начальные условия, но определяющих различные геометрии после . На основании этого наблюдения Эйнштейн три года искал нековариантные уравнения поля, участвуя в напряженной гонке с Гильбертом. Точнее, Эйнштейн представил ситуацию, в которой распределение материи известно повсюду за пределами замкнутой области пространства-времени, свободной от материи, – «дыры». Тогда уравнения поля вместе с граничными условиями должны определять метрическое поле внутри «дыры». Предполагается, что координаты и различаются внутри «дыры», но совпадают снаружи. Далее рассуждения аналогичны приведенным выше. Поскольку эти два решения имеют одинаковую функциональную форму, они принимают одинаковые значения, просто в разных точках. Следовательно, одно решение получается из другого путем «перетаскивания» метрической функции по пространственно-временному многообразию в новую конфигурацию. Это известно как диффеоморфизм, который физики иногда называют активным диффеоморфизмом, чтобы отличить его от преобразований координат (пассивных диффеоморфизмов). Эйнштейн не смог найти нековариантные уравнения поля и вернулся к аргументу о «дыре», чтобы разрешить его. По сути, это заключалось в признании физической эквивалентности этих двух решений, утверждая, что способ локализации метрики на пространственно-временном многообразии физически не имеет значения, и что отдельные точки пространства-времени, определяемые координатами, сами по себе не имеют физического смысла (это источник проблемы субстанционализма многообразия). Чтобы придать смысл понятию «местоположение», Эйнштейн обобщил ситуацию, описанную выше, введя две частицы; тогда физические точки (внутри «дыры») можно определить по их совпадающим мировым линиям. Это работает, потому что материя перетаскивается вместе с метрикой при активных диффеоморфизмах. Без введения этих частиц невозможно было бы определить физические точки пространства-времени (внутри «дыры»); см. цитаты Эйнштейна, приведенные ниже в разделе «Решение Эйнштейна».

Значение инвариантности координат

Для тех, кто склонен к философским размышлениям, сохраняется некоторая тонкость. Если компоненты метрики рассматриваются как динамические переменные общей теории относительности, то требование координатной инвариантности уравнений само по себе не несёт никакой информации. Все физические теории инвариантны относительно преобразований координат, если они сформулированы корректно. Уравнения Максвелла можно записать в любой системе координат и предсказывать будущее одинаковым образом. Но для того, чтобы сформулировать электромагнетизм в произвольной системе координат, необходимо ввести описание геометрии пространства-времени, не привязанное к конкретной системе координат. Это описание представляет собой метрический тензор в каждой точке или аффинную связь, определяющую, какие близлежащие векторы параллельны. Введённый математический объект, метрика Минковского, изменяет свою форму при переходе от одной системы координат к другой, но не является частью динамики и не подчиняется уравнениям движения. Что бы ни происходило с электромагнитным полем, оно всегда остаётся неизменным. Оно действует, не подвергаясь воздействию. В общей теории относительности каждая отдельная локальная величина, используемая для описания геометрии, сама по себе является локальным динамическим полем, со своим собственным уравнением движения. Это накладывает серьёзные ограничения, поскольку уравнение движения должно быть осмысленным. Оно должно определять будущее на основе начальных условий, не допускать неустойчивостей при малых возмущениях и определять положительно определённую энергию для малых отклонений. Если исходить из того, что координатная инвариантность тривиальна, то принцип координатной инвариантности просто утверждает, что сама метрика является динамической, а её уравнение движения не включает в себя фиксированную фоновую геометрию.

Резолюция Эйнштейна

В 1915 году Эйнштейн понял, что аргумент о дыре основывается на предположении о природе пространства-времени: он исходит из того, что имеет смысл говорить о значении гравитационного поля (с точностью до координатных преобразований) в точке пространства-времени, определяемой координатами пространства-времени, — точнее, он исходит из того, что имеет смысл говорить о физических свойствах гравитационного поля, например, о том, является ли оно плоским или искривлённым (это координатно-независимое свойство гравитационного поля), в точке пространства-времени. Отказавшись от этого предположения, общая ковариантность стала совместимой с детерминизмом. Хотя два гравитационных поля, различающиеся активным диффеоморфизмом, выглядят геометрически по-разному, после пересчёта траекторий всех частиц их взаимодействия однозначно определяют «физические» положения, относительно которых гравитационное поле принимает одно и то же значение при всех активных диффеоморфизмах. (Обратите внимание, что если бы две метрики были связаны друг с другом лишь координатным преобразованием, мировые линии частиц не изменились бы; это связано с тем, что обе эти метрики задают одну и ту же геометрию пространства-времени и с тем, что мировые линии геометрически определяются как траектории максимального собственного времени — изменение геометрии и траекторий происходит только при активном диффеоморфизме.) Это было первым чётким формулированием принципа калибровочной инвариантности в физических законах. Эйнштейн полагал, что аргумент о дыре подразумевает, что единственное осмысленное определение местоположения и времени — через материю. Точка в пространстве-времени сама по себе лишена смысла, поскольку её обозначение неопределённо. Физический смысл точки пространства-времени приобретается лишь благодаря движению материи сквозь неё. По его словам: «Все наши проверки пространства-времени неизменно сводятся к определению пространственно-временных совпадений. Если бы, например, события состояли лишь в движении материальных точек, то в конечном итоге наблюдалось бы лишь столкновение двух или более этих точек». Он считал это самым глубоким прозрением общей теории относительности. Согласно этому прозрению, физическое содержание любой теории исчерпывается перечнем пространственно-временных совпадений, которые она допускает. Джон Стахел назвал этот принцип аргументом о точечном совпадении. Прямое доказательство конечности канонического LQG в присутствии всех форм материи было предоставлено Тиманном. Однако было предположено, что петлевая квантовая гравитация нарушает фоновую независимость, вводя предпочтительную систему отсчёта («спиновые пены»). Пертурбативная теория струн (в дополнение к ряду непертурбативных формулировок) не является «очевидно» фоново-независимой, поскольку она зависит от граничных условий на бесконечности, подобно тому, как пертурбативная общая теория относительности не является «очевидно» фоново-зависимой. Однако некоторые секторы теории струн допускают формулировки, в которых фоновая независимость проявляется явно, в частности, AdS/CFT. Считается, что теория струн в целом фоново-независима, даже если многие полезные формулировки не делают это очевидным. С противоположной точкой зрения можно ознакомиться в работах Смолина.