Введение
В геометрии набор прямых называется равноугольным, если все прямые пересекаются в одной точке, и каждая пара прямых образует один и тот же угол.
Равныхугольные линии в евклидовом пространстве
Вычисление максимального числа равноугольных прямых в n-мерном евклидовом пространстве является сложной задачей и в общем случае не решена, хотя оценки известны. Максимальное количество равноугольных прямых в двухмерном евклидовом пространстве равно 3: можно взять прямые, проходящие через противоположные вершины правильного шестиугольника, каждая из которых образует угол 120 градусов с двумя другими. Максимальное число в 3 измерениях равно 6: можно взять прямые, проходящие через противоположные вершины икосаэдра. Известно, что максимальное число в любом измерении не превышает этой верхней границы, которая, с точностью до постоянного множителя, достигается при построении де Каэна. Максимальное число в измерениях от 1 до 16 приведено в Онлайн энциклопедии целых последовательностей следующим образом: 1, 3, 6, 6, 10, 16, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 36, 40. В частности, максимальное количество равноугольных прямых в 7 измерениях равно 28. Эти прямые можно получить следующим образом. Возьмем вектор (−3, −3, 1, 1, 1, 1, 1) в ℝ⁷ и сформируем все 28 векторов, полученных перестановкой его компонент. Скалярное произведение двух таких векторов равно 8, если оба вектора имеют компонент 3 в одной и той же позиции, и −8 в противном случае. Следовательно, прямые, проходящие через начало координат и содержащие эти векторы, являются равноугольными. Более того, все 28 векторов ортогональны вектору (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) в ℝ⁷, поэтому они лежат в 7-мерном пространстве. Фактически, эти 28 векторов и их отрицания, с точностью до вращения и масштабирования, являются 56 вершинами 321-политопа. Иными словами, они являются весовыми векторами 56-мерного представления группы Ли E7. Равноугольные прямые эквивалентны двум графам. Для заданного множества равноугольных прямых обозначим косинус общего угла через c. Предположим, что угол не равен 90°, поскольку этот случай тривиален (то есть не представляет интереса, так как прямые являются просто координатными осями); следовательно, c не равно нулю. Можно переместить прямые так, чтобы все они проходили через начало координат. Выберем единичный вектор в каждой прямой. Сформируем матрицу M скалярных произведений. Эта матрица имеет 1 на диагонали и ±c в остальных элементах, и она симметрична. Вычитая единичную матрицу I и деля на c, получим симметричную матрицу с нулевой диагональю и ±1 вне диагонали. Это матрица смежности Зайделя двудольного графа. И наоборот, любой двудольный граф может быть представлен как набор равноугольных прямых. Проблема определения максимального числа равноугольных прямых с фиксированным углом в достаточно высоких измерениях была решена Цзян, Тидором, Яо, Чжаном и Чжао. Ответ выражен в терминах спектральной теории графов. Пусть обозначает максимальное число прямых, проходящих через начало координат в измерениях с общим углом между ними. Пусть обозначает минимальное число (если оно существует) вершин в графе, матрица смежности которого имеет спектральный радиус, равный . Если конечно, то для всех достаточно больших (здесь "достаточно большое" может зависеть от ). Если не существует, то .
1, 3, 6, 6, 10, 16, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 36, 40,
In particular, the maximum number of equiangular lines in 7 dimensions is 28. We can obtain these lines as follows. Take the vector (−3,−3,1,1,1,1,1,1) in , and form all 28 vectors obtained by permuting its components. The dot product of two of these vectors is 8 if both have a component 3 in the same place or −8 otherwise. Thus, the lines through the origin containing these vectors are equiangular. Moreover, all 28 vectors are orthogonal to the vector (1,1,1,1,1,1,1,1) in , so they lie in a 7 dimensional space. In fact, these 28 vectors and their negatives are, up to rotation and dilation, the 56 vertices of the 321 polytope. In other words, they are the weight vectors of the 56 dimensional representation of the Lie group E7. Equiangular lines are equivalent to two graphs. Given a set of equiangular lines, let c be the cosine of the common angle. We assume that the angle is not 90°, since that case is trivial (i. e., not interesting, because the lines are just coordinate axes); thus, c is nonzero. We may move the lines so they all pass through the origin of coordinates. Choose one unit vector in each line. Form the matrix M of inner products. This matrix has 1 on the diagonal and ±c everywhere else, and it is symmetric. Subtracting the identity matrix I and dividing by c, we have a symmetric matrix with zero diagonal and ±1 off the diagonal. This is the Seidel adjacency matrix of a two graph. Conversely, every two graph can be represented as a set of equiangular lines. The problem of determining the maximum number of equiangular lines with a fixed angle in sufficiently high dimensions was solved by Jiang, Tidor, Yao, Zhang, and Zhao. The answer is expressed in spectral graph theoretic terms. Let denote the maximum number of lines through the origin in dimensions with common pairwise angle Let denote the minimum number (if it exists) of vertices in a graph whose adjacency matrix has spectral radius exactly If is finite, then for all sufficiently large dimensions (here the "sufficiently large" may depend on ). If no exists, then .
Равные прямоугольники в сложном векторном пространстве
В сложном векторном пространстве, оснащенном внутренним произведением, можно определить угол между единичными векторами и посредством соотношения. Известно, что верхняя граница для числа комплексных эквиангулярных линий в любом измерении равна . В отличие от рассмотренного выше вещественного случая, возможно, что эта граница достигается в каждом измерении. Предположение о справедливости этого утверждения было высказано Заунером и аналитически или численно проверено до Скоттом и Грасслом. Максимальное множество комплексных эквиангулярных линий также известно как SIC или SIC POVM.