Регулярные политопы и симметрия

Введение

Политоп с наивысшей степенью симметрии

+ Примеры регулярных политопов Регулярный пятиугольник — это полигон, двумерный политоп с 5 сторонами, представленный символом Шлефли {5}. Регулярный додекаэдр — это многогранник, трехмерный политоп с 12 пятиугольными гранями, представленный символом Шлефли {5,3}. Регулярная 120-ячейка — это полихорон, четырехмерный политоп, с 120 додекаэдрическими ячейками, представленный символом Шлефли {5,3,3}. (показано здесь как диаграмма Шлегеля) Регулярный кубический сотовид — это тесселяция, бесконечный трехмерный политоп, представленный символом Шлефли {4,3,4}. 256 вершин и 1024 ребер 8-го куба можно показать в этой ортогональной проекции (полигон Петри).

В математике, регулярный политоп — это политоп, чья группа симметрии действует транзитивно на его флаги, тем самым обеспечивая ему наивысшую степень симметрии. В частности, все его элементы или j-грани (для всех 0 ≤ j ≤ n, где n — размерность политопа) — ячейки, грани и так далее — также транзитивны относительно симметрий политопа и сами являются регулярными политопами размерности j ≤ n.

Регулярные политопы являются обобщенным аналогом в любом числе измерений регулярных многоугольников (например, квадрата или правильного пятиугольника) и регулярных многогранников (например, куба). Сильная симметрия регулярных политопов придает им эстетическое качество, которое интересно как математикам, так и неспециалистам. Классически, регулярный политоп в n измерениях может быть определен как имеющий регулярные фасеты ([n–1]-мерные грани) и регулярные фигуры вершин. Эти два условия достаточны для того, чтобы все грани были одинаковыми, а все вершины — идентичными. Однако следует отметить, что это определение не работает для абстрактных политопов. Регулярный политоп может быть представлен символом Шлефли вида {a, b, c, …, y, z}, с регулярными фасетами как {a, b, c, …, y} и регулярными фигурами вершин как {b, c, …, y, z}.

Символы Шлефли

Концизное символическое представление для регулярных политопов было разработано Людвигом Шлефли в XIX веке, и немного измененная форма стала стандартной. Эта нотация лучше всего объясняется путем последовательного добавления одного измерения. Выпуклый правильный многоугольник с n сторонами обозначается {n}. Таким образом, равносторонний треугольник – это {3}, квадрат – {4}, и так далее, до бесконечности. Правильный n-сторонний звездный многоугольник, который обвивается вокруг своего центра m раз, обозначается дробным значением {n/m}, где n и m взаимно просты, поэтому правильная пентаграмма – это {5/2}. Правильный многогранник с гранями {n}, где p граней сходятся в вершине, обозначается {n, p}. Девять правильных многогранников – {3, 3}, {3, 4}, {4, 3}, {3, 5}, {5, 3}, {3, 5/2}, {5/2, 3}, {5, 5/2} и {5/2, 5}. {p} – это вершинная фигура многогранника. Правильный 4-мерный политоп с ячейками {n, p}, где q ячеек сходятся вдоль ребра, обозначается {n, p, q}. Вершинная фигура 4-мерного политопа – {p, q}. Правильный 5-мерный политоп – это {n, p, q, r}. И так далее.

Дуальность регулярных политопов

Двойственный политоп регулярного политопа также является регулярным политопом. Символ Шлефли для двойственного политопа – это просто исходный символ, записанный в обратном порядке: {3, 3} самодвойственен, {3, 4} двойственен к {4, 3}, {4, 3, 3} к {3, 3, 4} и так далее. Вершинная фигура регулярного политопа является двойственной к фасете двойственного политопа. Например, вершинная фигура {3, 3, 4} – это {3, 4}, двойственная к которой является {4, 3} – ячейка {4, 3, 3}. Политопы мер и крестообразные политопы в любом измерении двойственны друг другу. Если символ Шлефли является палиндромом, то есть читается одинаково слева направо и справа налево, то многогранник самодвойственен. Самодвойственными регулярными политопами являются:
Все правильные многоугольники, {a}. Все правильные n-симплексы, {3,3,…,3}.
Правильная 24-я ячейка в 4 измерениях, {3,4,3}. Большая 120-я ячейка ({5,5/2,5}) и большая звёздная 120-я ячейка ({5/2,5,5/2}) в 4 измерениях. Все правильные n-мерные кубические соты, {4,3,…,3,4}. Их можно рассматривать как бесконечные политопы. Гиперболические мощения и соты (мощения с p>4 в 2 измерениях, {4,4,4}, {5,3,5}, {3,5,3}, {6,3,6} и {3,6,3} в 3 измерениях, {5,3,3,5} в 4 измерениях и {3,3,4,3,3} в 5 измерениях).

Регулярные простые

+ Графики от 1-симплекса до 4-симплекса. Сегмент прямой Треугольник Тетраэдр Пентахорон

Начните с точки А. Отметьте точку B на расстоянии r от неё и соедините их, чтобы образовать отрезок прямой. Отметьте точку C во втором, ортогональном, измерении на расстоянии r от обеих точек и соедините её с точками A и B, чтобы образовать равносторонний треугольник. Отметьте точку D в третьем, ортогональном, измерении на расстоянии r от всех трёх точек и соедините её с ними, чтобы образовать правильный тетраэдр. И так далее для более высоких измерений. Это правильные симплексы. Их названия в порядке возрастания размерности:

0. Точка
1. Отрезок прямой
2. Равносторонний треугольник (правильный тригоник)
3. Правильный тетраэдр
4. Правильный пентахорон или 4-симплекс
5. Правильный гексатерон или 5-симплекс
n-симплекс имеет n+1 вершин.

Измерение политопов (гиперкубков)

+ Графики от 2 куба до 4 куба. Квадратный куб и тессеракт

Начните с точки A. Проведите линию до точки B на расстоянии r и соедините их, чтобы образовать отрезок. Проведите вторую линию длиной r, ортогональную AB, от B до C, и аналогично от A до D, чтобы образовать квадрат ABCD. Проведите линии длиной r от каждого угла, ортогональные как AB, так и BC (то есть вверх). Отметьте новые точки E, F, G, H, чтобы образовать куб ABCDEFGH. И так далее для более высоких размерностей. Это измерительные политопы или гиперкубы. Их названия в порядке размерности:

0. Точка
1. Отрезок
2. Квадрат (правильный тетрагон)
3. Куб (правильный гексаэдр)
4. Тессеракт (правильный октахорон) или 4-куб
5. Пентаракт (правильный декатерон) или 5-куб
n-куб имеет 2n вершин.

Кроссовые политопы (ортоплексы)

+ Графы от 2 до 4 ортоплексов. Квадратный октаэдр 16-ячеечный

Начните с точки O. Проведите линию в противоположных направлениях к точкам A и B на расстоянии r от O, так чтобы расстояние между A и B было равно 2r. Нарисуйте линию COD длиной 2r, с центром в O и ортогональную AB. Соедините концы, чтобы образовать квадрат ACBD. Нарисуйте линию EOF той же длины и с центром в O, ортогональную AB и CD (то есть направленную вверх и вниз). Соедините концы с квадратом, чтобы образовать правильный октаэдр. И так далее для более высоких размерностей. Это перекрестные политопы или ортоплексы. Их названия в порядке размерности:

0. Точка
1. Линейный отрезок
2. Квадрат (правильный тетрагон)
3. Правильный октаэдр
4. Правильный гексадекахорон (16-ячейка) или 4-ортоплекс
5. Правильный триаконтакаидитер (пентакросс) или 5-ортоплекс.
n-ортоплекс имеет 2n вершин.

Высокомерные политопы

Только в XIX веке швейцарский математик Людвиг Шлефли исследовал и охарактеризовал регулярные политопы в более высоких измерениях. Его работы впервые были опубликованы полностью в 1886 году, спустя шесть лет после его смерти, хотя части были опубликованы в 1880 и 1900 годах. Результаты Шлефли были независимо повторно открыты как минимум девятью другими математиками. Шлефли называл такую фигуру "полисхемой" (на английском "polyscheme" или "polyschema"). Термин "политоп" был введен Рейнхольдом Хоппе, одним из переоткрывателей Шлефли, в 1882 году и впервые использован на английском языке Алисией Бул Стотт примерно через двадцать лет. Термин "полиэдроиды" также использовался в более ранней литературе (Hilbert, 1952). Это, вероятно, наиболее полное печатное изложение результатов Шлефли и подобных им результатов на сегодняшний день. Шлефли показал, что существует шесть регулярных выпуклых политопов в 4 измерениях. Пять из них можно рассматривать как аналогичные платоновым телам: 4-симплекс (или пентахорон) – тетраэдру, гиперкуб (или тессеракт) – кубу, 4-ортоплекс (или гексадекахорон или 16-ячейка) – октаэдру, 120-ячейка – додекаэдру и 600-ячейка – икозаэдру. Шестой, 24-ячейка, можно рассматривать как переходную форму между гиперкубом и 16-ячейкой, аналогично тому, как кубоктаэдр и ромбододекаэдр являются переходными формами между кубом и октаэдром. В пяти и более измерениях существует ровно три регулярных политопа, соответствующие тетраэдру, кубу и октаэдру: это регулярные симплексы, мерные политопы и перекрестные политопы. Описания этих политопов можно найти в списке регулярных политопов. Также представляют интерес звездные регулярные 4-политопы, частично открытые Шлефли. К концу XIX века математики, такие как Артур Кейли и Людвиг Шлефли, разработали теорию регулярных политопов в четырех и более высоких измерениях, такие как тессеракт и 24-ячейка. Последние трудно (хотя и не невозможно) визуализировать посредством аналогии измерений, поскольку они сохраняют знакомую симметрию своих аналогов в меньших измерениях. Тессеракт содержит 8 кубических ячеек. Он состоит из двух кубов в параллельных гиперплоскостях с соответствующими вершинами, соединенными таким образом, что 8 поперечных ребер равны по длине и ортогональны 12+12 ребрам, расположенным на каждом кубе. Соответствующие грани двух кубов соединены, образуя оставшиеся 6 кубических граней тессеракта. 24-ячейку можно получить из тессеракта, соединив 8 вершин каждой из его кубических граней с дополнительной вершиной, чтобы сформировать четырехмерный аналог пирамиды. Обе фигуры, а также другие четырехмерные фигуры, могут быть непосредственно визуализированы и изображены с помощью четырехмерных стереограмм. Еще сложнее представить более современные абстрактные регулярные политопы, такие как 57-ячейка или 11-ячейка. Однако с математической точки зрения эти объекты обладают теми же эстетическими качествами, что и их более знакомые двухмерные и трехмерные аналоги. В начале XX века определение регулярного политопа было следующим. Регулярный многоугольник – это многоугольник, все стороны которого равны, а все углы равны. Регулярный многогранник – это многогранник, все грани которого являются конгруэнтными регулярными многоугольниками, а все вершинные фигуры конгруэнтны и регулярны. И так далее, регулярный n-политоп – это n-мерный политоп, все (n–1)-мерные грани которого регулярны и конгруэнтны, а вершинные фигуры конгруэнтны и регулярны. Это рекурсивное определение, определяющее регулярность фигур с более высокими измерениями в терминах регулярных фигур с более низкими измерениями. Существует эквивалентное (нерекурсивное) определение, которое гласит, что политоп является регулярным, если он обладает достаточной степенью симметрии. n-политоп является регулярным, если любой набор, состоящий из вершины, ребра, содержащего ее, 2-мерной грани, содержащей ребро, и так далее до n–1 измерений, может быть отображен на любой другой такой набор посредством симметрии политопа. Например, куб является регулярным, потому что если мы выберем вершину куба и одно из трех ребер, исходящих из нее, и одну из двух граней, содержащих ребро, то этот триплет, известный как флаг (вершина, ребро, грань), может быть отображен на любой другой такой флаг подходящей симметрией куба. Таким образом, мы можем очень кратко определить регулярный политоп: регулярный политоп – это тот, чья группа симметрии транзитивна относительно его флагов. В XX веке были сделаны некоторые важные разработки. Группы симметрии классических регулярных политопов были обобщены до того, что теперь называется группами Коксетера. Группы Коксетера также включают группы симметрии регулярных разбиений пространства или плоскости. Например, группа симметрии бесконечной шахматной доски будет группой Коксетера [4,4].

It was not until the 19th century that a Swiss mathematician, Ludwig Schläfli, examined and characterised the regular polytopes in higher dimensions. His efforts were first published in full in , six years posthumously, although parts of it were published in and Between 1880 and 1900, Schläfli's results were rediscovered independently by at least nine other mathematicians — see for more details. Schläfli called such a figure a "polyschem" (in English, "polyscheme" or "polyschema"). The term "polytope" was introduced by Reinhold Hoppe, one of Schläfli's rediscoverers, in 1882, and first used in English by Alicia Boole Stott some twenty years later. The term "polyhedroids" was also used in earlier literature (Hilbert, 1952). is probably the most comprehensive printed treatment of Schläfli's and similar results to date. Schläfli showed that there are six regular convex polytopes in 4 dimensions. Five of them can be seen as analogous to the Platonic solids: the 4 simplex (or pentachoron) to the tetrahedron, the hypercube (or tesseract) to the cube, the 4 orthoplex (or hexadecachoron or 16 cell) to the octahedron, the 120 cell to the dodecahedron, and the 600 cell to the icosahedron. The sixth, the 24 cell, can be seen as a transitional form between the hypercube and 16 cell, analogous to the way that the cuboctahedron and the rhombic dodecahedron are transitional forms between the cube and the octahedron. In five and more dimensions, there are exactly three regular polytopes, which correspond to the tetrahedron, cube and octahedron: these are the regular simplices, measure polytopes and cross polytopes. Descriptions of these may be found in the list of regular polytopes. Also of interest are the star regular 4 polytopes, partially discovered by Schläfli. By the end of the 19th century, mathematicians such as Arthur Cayley and Ludwig Schläfli had developed the theory of regular polytopes in four and higher dimensions, such as the tesseract and the 24 cell. The latter are difficult (though not impossible) to visualise through a process of dimensional analogy, since they retain the familiar symmetry of their lower dimensional analogues. The tesseract contains 8 cubical cells. It consists of two cubes in parallel hyperplanes with corresponding vertices cross connected in such a way that the 8 cross edges are equal in length and orthogonal to the 12+12 edges situated on each cube. The corresponding faces of the two cubes are connected to form the remaining 6 cubical faces of the tesseract. The 24 cell can be derived from the tesseract by joining the 8 vertices of each of its cubical faces to an additional vertex to form the four dimensional analogue of a pyramid. Both figures, as well as other 4 dimensional figures, can be directly visualised and depicted using 4 dimensional stereographs. Harder still to imagine are the more modern abstract regular polytopes such as the 57 cell or the 11 cell. From the mathematical point of view, however, these objects have the same aesthetic qualities as their more familiar two and three dimensional relatives. At the start of the 20th century, the definition of a regular polytope was as follows. A regular polygon is a polygon whose edges are all equal and whose angles are all equal. A regular polyhedron is a polyhedron whose faces are all congruent regular polygons, and whose vertex figures are all congruent and regular. And so on, a regular n polytope is an n dimensional polytope whose (n − 1) dimensional faces are all regular and congruent, and whose vertex figures are all regular and congruent. This is a "recursive" definition. It defines regularity of higher dimensional figures in terms of regular figures of a lower dimension. There is an equivalent (non recursive) definition, which states that a polytope is regular if it has a sufficient degree of symmetry. An n polytope is regular if any set consisting of a vertex, an edge containing it, a 2 dimensional face containing the edge, and so on up to n−1 dimensions, can be mapped to any other such set by a symmetry of the polytope. So for example, the cube is regular because if we choose a vertex of the cube, and one of the three edges it is on, and one of the two faces containing the edge, then this triplet, known as a flag, (vertex, edge, face) can be mapped to any other such flag by a suitable symmetry of the cube. Thus we can define a regular polytope very succinctly:
A regular polytope is one whose symmetry group is transitive on its flags. In the 20th century, some important developments were made. The symmetry groups of the classical regular polytopes were generalised into what are now called Coxeter groups. Coxeter groups also include the symmetry groups of regular tessellations of space or of the plane. For example, the symmetry group of an infinite chessboard would be the Coxeter group [4,4].

Апеиротопы бесконечные политопы

В первой половине 20-го века Коксетер и Петри обнаружили три бесконечные структуры {4, 6}, {6, 4} и {6, 6}. Они назвали их регулярными скошенными многогранниками, поскольку они, казалось, удовлетворяют определению регулярного многогранника: все вершины, рёбра и грани одинаковы, все углы равны, и фигура не имеет незамкнутых рёбер. В настоящее время они называются бесконечными полиэдрами или апеироэдрами. Регулярные замощения плоскости {4, 4}, {3, 6} и {6, 3} также могут рассматриваться как бесконечные многогранники. В 1960-х годах Бранко Грунбаум обратился к геометрическому сообществу с призывом рассмотреть более абстрактные типы регулярных политопов, которые он назвал полистроматами. Он разработал теорию полистроматов, представив примеры новых объектов, которые он назвал регулярными апеиротопами, то есть регулярными политопами с бесконечным числом граней. Простым примером скошенного апеирогона является зигзаг. Он, кажется, удовлетворяет определению регулярного многоугольника — все рёбра имеют одинаковую длину, все углы равны, и фигура не имеет незамкнутых концов (поскольку до них невозможно добраться). Возможно, что ещё более важно, существуют симметрии зигзага, способные отображать любую пару вершина-примыкающее ребро в любую другую. С тех пор продолжают открываться другие регулярные апеирогоны и апеиротопы более высоких размерностей.

Регулярные сложные политопы

Комплексное число имеет действительную часть, с которой мы все хорошо знакомы, и мнимую часть, которая является кратным квадратного корня из минус единицы. Комплексное гильбертово пространство имеет свои координаты x, y, z и т.д., представленные комплексными числами. Это фактически удваивает число измерений. Политоп, построенный в таком пространстве, называется комплексным политопом.

Абстрактные политопы

Грюнбаум также открыл 11-ячейку, четырехмерный самодуальный объект, чьи грани не являются икосаэдрами, а представляют собой «геми-икосаэдры» — то есть, это форма, которую получается, если рассматривать противоположные грани икосаэдра как фактически одну и ту же грань. Геми-икосаэдр имеет только 10 треугольных граней и 6 вершин, в отличие от икосаэдра, который имеет 20 граней и 12 вершин. Читателю будет легче понять эту концепцию, если он рассмотрит соотношение между кубом и полукубом. У обычного куба есть 8 углов, которые можно обозначить буквами от A до H, где A напротив H, B напротив G и так далее. В полукубе углы A и H считаются одним и тем же углом, как и B и G, и так далее. Ребро AB становится таким же, как GH, а грань ABEF — такой же, как CDGH. Новая форма имеет только три грани, 6 ребер и 4 угла. 11-ячейку нельзя построить с использованием регулярной геометрии в плоском (евклидовом) гиперпространстве, а только в положительно искривленном (эллиптическом) гиперпространстве. Спустя несколько лет после открытия 11-ячейки Грунбаумом, Х. С. М. Коксетер независимо открыл ту же форму. Ранее он обнаружил аналогичный политоп — 57-ячейку (Coxeter 1982, 1984). К 1994 году Грунбаум рассматривал политопы абстрактно как комбинаторные множества точек или вершин и не обращал внимания на то, являются ли грани плоскими. По мере развития этих идей он и другие стали называть такие множества абстрактными политопами. Абстрактный политоп определяется как частично упорядоченное множество (посет), элементами которого являются грани политопа (вершины, ребра, грани и т. д.), упорядоченные по включению. На множество накладываются определенные ограничения, аналогичные свойствам, удовлетворяемым классическими регулярными политопами (включая платоновы тела). Однако эти ограничения достаточно свободны, чтобы регулярные разбиения, полукубы и даже такие необычные объекты, как 11-ячейка или еще более странные, являлись примерами регулярных политопов. Геометрический политоп понимается как реализация абстрактного политопа, при которой существует взаимно однозначное соответствие между абстрактными элементами и соответствующими гранями геометрической реализации. Таким образом, любой геометрический политоп может быть описан соответствующим абстрактным посетом, хотя не все абстрактные политопы имеют надлежащую геометрическую реализацию. Теория с тех пор была дополнительно развита, в основном, [имя исследователя], но и другие исследователи внесли свой вклад.

Grünbaum also discovered the 11 cell, a four dimensional self dual object whose facets are not icosahedra, but are "hemi icosahedra" — that is, they are the shape one gets if one considers opposite faces of the icosahedra to be actually the same face The hemi icosahedron has only 10 triangular faces, and 6 vertices, unlike the icosahedron, which has 20 and 12. This concept may be easier for the reader to grasp if one considers the relationship of the cube and the hemicube. An ordinary cube has 8 corners, they could be labeled A to H, with A opposite H, B opposite G, and so on. In a hemicube, A and H would be treated as the same corner. So would B and G, and so on. The edge AB would become the same edge as GH, and the face ABEF would become the same face as CDGH. The new shape has only three faces, 6 edges and 4 corners. The 11 cell cannot be formed with regular geometry in flat (Euclidean) hyperspace, but only in positively curved (elliptic) hyperspace. A few years after Grünbaum's discovery of the 11 cell, H. S. M. Coxeter independently discovered the same shape. He had earlier discovered a similar polytope, the 57 cell (Coxeter 1982, 1984). By 1994 Grünbaum was considering polytopes abstractly as combinatorial sets of points or vertices, and was unconcerned whether faces were planar. As he and others refined these ideas, such sets came to be called abstract polytopes. An abstract polytope is defined as a partially ordered set (poset), whose elements are the polytope's faces (vertices, edges, faces etc.) ordered by containment. Certain restrictions are imposed on the set that are similar to properties satisfied by the classical regular polytopes (including the Platonic solids). The restrictions, however, are loose enough that regular tessellations, hemicubes, and even objects as strange as the 11 cell or stranger, are all examples of regular polytopes. A geometric polytope is understood to be a realization of the abstract polytope, such that there is a one to one mapping from the abstract elements to the corresponding faces of the geometric realisation. Thus, any geometric polytope may be described by the appropriate abstract poset, though not all abstract polytopes have proper geometric realizations. The theory has since been further developed, largely by , but other researchers have also made contributions.

Регулярность абстрактных политопов

Регулярность имеет связанное, хотя и отличное значение для абстрактных политопов, поскольку углы и длины ребер не имеют смысла. Определение регулярности с точки зрения транзитивности флагов, данное во введении, применимо к абстрактным политопам. Любой классический регулярный политоп имеет абстрактный эквивалент, который является регулярным, получаемый путем рассмотрения множества граней. Однако нерегулярные классические политопы могут иметь регулярные абстрактные эквиваленты, поскольку абстрактные политопы не сохраняют информацию об углах и длинах ребер, например. И регулярный абстрактный политоп может оказаться нереализуемым как классический политоп. Все многоугольники, например, регулярны в абстрактном мире, в то время как в классическом мире регулярными являются лишь те, у которых равны углы и все ребра имеют одинаковую длину.

Полигоны

Традиционный способ построения правильного многоугольника, или, вообще, любой фигуры на плоскости, заключается в использовании циркуля и линейки. Построение некоторых правильных многоугольников таким способом очень простое (самым простым, пожалуй, является равносторонний треугольник), некоторые более сложные, а некоторые невозможны ("непостроимо"). Самые простые правильные многоугольники, которые невозможно построить, – это многоугольники с n сторонами, где n равно 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21.

Построимость в этом смысле относится только к идеальным построениям с использованием идеальных инструментов. Разумеется, достаточно точные приближения можно получить различными методами, в то время как теоретически возможные построения могут быть непрактичными.

Полиэдеры

В "Началах" Евклида представлены построения с помощью циркуля и линейки для пяти платоновых тел. Однако, даже простой практический вопрос о том, как провести прямую линию в пространстве, используя линейку, может заставить задуматься о том, что именно означает "построить" правильный многогранник. (Тот же вопрос можно задать и о многоугольниках, конечно.) Английское слово "construct" подразумевает систематическое создание создаваемого объекта. Наиболее распространенный способ построения правильного многогранника – это развертка. Чтобы получить развертку многогранника, берут его поверхность и разрезают по достаточному количеству ребер, чтобы ее можно было разложить на плоскости. Это дает план развертки развернутого многогранника. Поскольку платоновы тела имеют в гранях только треугольники, квадраты и пятиугольники, а все они построимы циркулем и линейкой, существуют методы построения разверток этих фигур с помощью циркуля и линейки. То же самое относится и к звездным многогранникам, хотя здесь нужно быть осторожным и создавать развертку только для видимой внешней поверхности. Если эту развертку нанести на картон или другой гибкий материал (например, листовой металл), ее можно вырезать, согнуть по неразрезанным краям, соединить по соответствующим разрезанным краям и таким образом сформировать многогранник, для которого эта развертка и была предназначена. Для заданного многогранника может существовать множество разверток. Например, для куба их 11, а для додекаэдра – более 900 000. Множество детских игрушек, обычно предназначенных для подростков или детей младшего подросткового возраста, позволяют экспериментировать с правильными многоугольниками и многогранниками. Например, Klikko предлагает наборы пластиковых треугольников, квадратов, пятиугольников и шестиугольников, которые можно соединять по краям различными способами. Ребенок, играющий с такой игрушкой, может заново открыть платоновы тела (или тела Архимеда), особенно если ему немного поможет знающий взрослый. Теоретически, для построения правильных многогранников можно использовать практически любой материал. Их можно вырезать из дерева, моделировать из проволоки, создавать из витражного стекла. Предел – только воображение.

Euclid's Elements gave what amount to ruler and compass constructions for the five Platonic solids. However, the merely practical question of how one might draw a straight line in space, even with a ruler, might lead one to question what exactly it means to "construct" a regular polyhedron. (One could ask the same question about the polygons, of course.) The English word "construct" has the connotation of systematically building the thing constructed. The most common way presented to construct a regular polyhedron is via a fold out net. To obtain a fold out net of a polyhedron, one takes the surface of the polyhedron and cuts it along just enough edges so that the surface may be laid out flat. This gives a plan for the net of the unfolded polyhedron. Since the Platonic solids have only triangles, squares and pentagons for faces, and these are all constructible with a ruler and compass, there exist ruler and compass methods for drawing these fold out nets. The same applies to star polyhedra, although here we must be careful to make the net for only the visible outer surface. If this net is drawn on cardboard, or similar foldable material (for example, sheet metal), the net may be cut out, folded along the uncut edges, joined along the appropriate cut edges, and so forming the polyhedron for which the net was designed. For a given polyhedron there may be many fold out nets. For example, there are 11 for the cube, and over 900000 for the dodecahedron. Numerous children's toys, generally aimed at the teen or pre teen age bracket, allow experimentation with regular polygons and polyhedra. For example, klikko provides sets of plastic triangles, squares, pentagons and hexagons that can be joined edge to edge in a large number of different ways. A child playing with such a toy could re discover the Platonic solids (or the Archimedean solids), especially if given a little guidance from a knowledgeable adult. In theory, almost any material may be used to construct regular polyhedra. They may be carved out of wood, modeled out of wire, formed from stained glass. The imagination is the limit.

Более высокие размеры

В более высоких измерениях становится сложнее определить, что подразумевается под "построением" объектов. Очевидно, что в трехмерной вселенной невозможно создать физическую модель объекта, имеющего 4 или более измерений. Существует несколько подходов, обычно используемых для решения этой проблемы. Первый подход, подходящий для четырех измерений, использует четырехмерную стереографию. Можно даже представить себе создание модели этой развертки, подобно тому, как рисуют развертку многогранника на листе бумаги. К сожалению, из-за ограничений физической вселенной мы никогда не сможем выполнить необходимое складывание трехмерной структуры для получения четырехмерного политопа. Другой способ "изобразить" многомерные фигуры в 3 измерениях – это использовать проекцию, например, аналогичную ортографической или перспективной. Знаменитая книга Коксетера о политопах содержит примеры таких ортографических проекций. Следует отметить, что непосредственное погружение даже 4-мерной полихоры в двух измерениях может быть довольно запутанным. Гораздо легче понять 3D-модели проекций. Такие модели иногда можно встретить в научных музеях или математических кафедрах университетов (например, в Свободном университете Брюсселя). Пересечение четырех (или более) мерного регулярного политопа с трехмерной гиперплоскостью даст политоп (не обязательно регулярный). Если перемещать гиперплоскость сквозь фигуру, то трехмерные сечения можно объединить и анимировать, создав своего рода четырехмерный объект, где четвертое измерение рассматривается как время. Таким образом, мы можем увидеть (если не полностью постичь) полную четырехмерную структуру четырехмерных регулярных политопов через подобные вырезы-сечения. Это аналогично тому, как компьютерная томография собирает двумерные изображения для создания трехмерного представления сканируемых органов. В идеале, это была бы анимированная голограмма, однако даже простая анимация, подобная представленной, уже может дать некоторое ограниченное представление о структуре политопа. Другой способ, с помощью которого трехмерный наблюдатель может понять структуру четырехмерного политопа, – это "погружение" в объект, возможно, с использованием технологии виртуальной реальности. Чтобы понять, как это может работать, представьте, что вы видите, если пространство заполнено кубами. Наблюдатель находится внутри одного из кубов и может видеть кубы спереди, сзади, сверху, снизу, слева и справа. Если бы можно было перемещаться в этих направлениях, можно было бы исследовать массив кубов и получить представление о его геометрической структуре. Бесконечный массив кубов не является политопом в традиционном смысле. Фактически, это мощение трехмерного (евклидова) пространства. Однако 4-политоп можно рассматривать как мощение 3-мерного неевклидова пространства, а именно, мощение поверхности четырехмерной сферы (четырехмерная сферическая мозаика). Локально это пространство похоже на то, с которым мы знакомы, и поэтому, в принципе, систему виртуальной реальности можно запрограммировать для исследования этих "мощений", то есть 4-мерных регулярных политопов. В математическом отделе UIUC есть ряд изображений того, что можно увидеть, если оказаться внутри мощения гиперболического пространства додекаэдрами. Такое мощение является примером бесконечного абстрактного регулярного политопа. Обычно для абстрактных регулярных политопов математик считает объект "построенным", если известна структура его группы симметрии. Это связано с важной теоремой в изучении абстрактных регулярных политопов, которая предоставляет метод для построения абстрактного регулярного политопа из его группы симметрии стандартным и простым способом.

In higher dimensions, it becomes harder to say what one means by "constructing" the objects. Clearly, in a 3 dimensional universe, it is impossible to build a physical model of an object having 4 or more dimensions. There are several approaches normally taken to overcome this matter. The first approach, suitable for four dimensions, uses four dimensional stereography. One might even imagine building a model of this fold out net, as one draws a polyhedron's fold out net on a piece of paper. Sadly, we could never do the necessary folding of the 3 dimensional structure to obtain the 4 dimensional polytope because of the constraints of the physical universe. Another way to "draw" the higher dimensional shapes in 3 dimensions is via some kind of projection, for example, the analogue of either orthographic or perspective projection. Coxeter's famous book on polytopes has some examples of such orthographic projections. Note that immersing even 4 dimensional polychora directly into two dimensions is quite confusing. Easier to understand are 3 d models of the projections. Such models are occasionally found in science museums or mathematics departments of universities (such as that of the Université Libre de Bruxelles). The intersection of a four (or higher) dimensional regular polytope with a three dimensional hyperplane will be a polytope (not necessarily regular). If the hyperplane is moved through the shape, the three dimensional slices can be combined, animated into a kind of four dimensional object, where the fourth dimension is taken to be time. In this way, we can see (if not fully grasp) the full four dimensional structure of the four dimensional regular polytopes, via such cutaway cross sections. This is analogous to the way a CAT scan reassembles two dimensional images to form a 3 dimensional representation of the organs being scanned. The ideal would be an animated hologram of some sort, however, even a simple animation such as the one shown can already give some limited insight into the structure of the polytope. Another way a three dimensional viewer can comprehend the structure of a four dimensional polytope is through being "immersed" in the object, perhaps via some form of virtual reality technology. To understand how this might work, imagine what one would see if space were filled with cubes. The viewer would be inside one of the cubes, and would be able to see cubes in front of, behind, above, below, to the left and right of himself. If one could travel in these directions, one could explore the array of cubes, and gain an understanding of its geometrical structure. An infinite array of cubes is not a polytope in the traditional sense. In fact, it is a tessellation of 3 dimensional (Euclidean) space. However, a 4 polytope can be considered a tessellation of a 3 dimensional non Euclidean space, namely, a tessellation of the surface of a four dimensional sphere (a 4 dimensional spherical tiling). Locally, this space seems like the one we are familiar with, and therefore, a virtual reality system could, in principle, be programmed to allow exploration of these "tessellations", that is, of the 4 dimensional regular polytopes. The mathematics department at UIUC has a number of pictures of what one would see if embedded in a tessellation of hyperbolic space with dodecahedra. Such a tessellation forms an example of an infinite abstract regular polytope. Normally, for abstract regular polytopes, a mathematician considers that the object is "constructed" if the structure of its symmetry group is known. This is because of an important theorem in the study of abstract regular polytopes, providing a technique that allows the abstract regular polytope to be constructed from its symmetry group in a standard and straightforward manner.