Введение

Геометрический объект с плоскими сторонами

Полиэдр – это трехмерный политоп. В элементарной геометрии политоп – это геометрический объект с плоскими гранями. Политопы являются обобщением трехмерных полиэдров на любое число измерений. Политопы могут существовать в любом общем числе измерений n как n-мерный политоп или n-политоп. Например, двумерный многоугольник – это 2-политоп, а трехмерный полиэдр – 3-политоп. В этом контексте «плоские грани» означает, что грани (k+1)-политопа состоят из k-политопов, которые могут иметь (k-1)-политопы в качестве общих элементов. Некоторые теории еще больше обобщают это понятие, включая такие объекты, как неограниченные апеиротопы и тесселяции, разложения или мощения изогнутых многообразий, включая сферические полиэдры, а также абстрактные политопы, заданные теориями множеств. Политопы более чем трех измерений были впервые открыты Людвигом Шлефли до 1853 года, который назвал такую фигуру полисхемой. Немецкий термин «политоп» был предложен математиком Рейнхольдом Хоппе и введен в английскую математику как «polytope» Алисией Бул Стотт.

Выпуклые политопы

Политоп может быть выпуклым. Выпуклые политопы являются простейшим типом политопов и служат основой для нескольких различных обобщений понятия политопа. Выпуклый политоп иногда определяется как пересечение множества полупространств. Это определение позволяет политопу быть неограниченным или бесконечным. Политопы определяются таким образом, например, в линейном программировании. Политоп ограничен, если существует шар конечного радиуса, содержащий его. Политоп называется заостренным, если он содержит хотя бы одну вершину. Каждый ограниченный непустой политоп является заостренным. Примером незаостренного политопа является множество. Политоп конечен, если он определяется в терминах конечного числа объектов, например, как пересечение конечного числа полуплоскостей. Он является интегральным политопом, если все его вершины имеют целочисленные координаты. Определенный класс выпуклых политопов называется рефлексивными политопами. Интегральный политоп является рефлексивным, если для некоторой интегральной матрицы A выполняется условие A x ≤ b, где b – вектор, состоящий из единиц, а неравенство понимается поточечно. Из этого определения следует, что политоп рефлексивен тогда и только тогда, когда b ≤ A для всех x. Иными словами, дилатация политопа отличается, с точки зрения точек целочисленной решетки, от дилатации только точками решетки, добавленными на границе. Эквивалентно, политоп рефлексивен тогда и только тогда, когда его двойственный политоп является интегральным политопом.

Бесконечные политопы

Не все многообразия конечны. Если политоп понимается как мощение или разложение многообразия, эта идея может быть расширена на бесконечные многообразия. Плоские мощения, заполнение пространства (соты) и гиперболические мощения в этом смысле являются политопами и иногда называются апейротопами, поскольку они имеют бесконечно много ячеек. Среди них существуют регулярные формы, включая регулярные скошенные многогранники и бесконечные ряды мощений, представленные правильным апейрогоном, квадратным мощением, кубическими сотами и так далее.

Абстрактные политопы

Теория абстрактных политопов стремится отделить политопы от содержащего их пространства, рассматривая их исключительно комбинаторные свойства. Это позволяет расширить определение термина и включить в него объекты, для которых сложно определить интуитивно понятное базовое пространство, такие как 11-я ячейка. Абстрактный политоп — это частично упорядоченное множество элементов, подчиняющееся определенным правилам. Это чисто алгебраическая структура, и теория была разработана, чтобы избежать некоторых проблем, которые затрудняют приведение различных геометрических классов к единой непротиворечивой математической системе. Геометрический политоп считается реализацией соответствующего абстрактного политопа в некотором реальном пространстве.

Комплексные политопы

Структуры, аналогичные политопам, существуют в комплексных пространствах Гильберта, где n вещественных измерений сопровождаются n мнимыми. Правильные комплексные политопы более уместно рассматривать как конфигурации.

Двойственность

Каждый n-политоп имеет двойственную структуру, получаемую путем замены его вершин на фасеты, ребер на грани, и так далее, в общем случае заменяя его (j − 1)-мерные элементы на (n − j)-мерные элементы (для j = 1 до n − 1), сохраняя при этом связность или инцидентность между элементами. Для абстрактного политопа это просто меняет порядок следования элементов в множестве. Это обращение видно в символах Шлефли для правильных политопов, где символ двойственного политопа является просто обратным к исходному. Например, {4, 3, 3} двойственен {3, 3, 4}. В случае геометрического политопа необходимо некоторое геометрическое правило для построения двойственного, см., например, правила, описанные для двойных многогранников. В зависимости от обстоятельств, двойственная фигура может быть, а может и не быть другим геометрическим политопом. Если двойственность обращена, то исходный политоп восстанавливается. Таким образом, политопы существуют двойственными парами.

История

Полигоны и полиэдры известны с древних времен. Первый намек на более высокие измерения появился в 1827 году, когда Август Фердинанд Мёбиус обнаружил, что два зеркально отраженных тела можно совместить, вращая одно из них в четвертом математическом измерении. К 1850-м годам несколько других математиков, таких как Артур Кейли и Герман Грассманн, также рассматривали более высокие измерения. Людвиг Шлефли первым исследовал аналоги многоугольников и полиэдров в этих пространствах более высокой размерности. Он описал шесть выпуклых правильных 4-политопов в 1852 году, но его работа была опубликована только в 1901 году, спустя шесть лет после его смерти. К 1854 году работа Бернарда Римана, представленная в качестве Habilitationsschrift, окончательно закрепила геометрию высших измерений, и таким образом концепция n-мерных политопов стала общепринятой. Политопы Шлефли неоднократно открывались заново в последующие десятилетия, в том числе и при его жизни. В 1882 году Райнхольд Хоппе, писавший на немецком языке, ввел термин "политоп" для обозначения этой более общей концепции многоугольников и многогранников. Впоследствии Алисия Бул Стотт, дочь логика Джорджа Буля, адаптировала слово "polytope" для английского языка. В более высоких измерениях эта задача оставалась нерешенной по состоянию на 1997 год. Полное перечисление невыпуклых однородных политопов в четырех и более измерениях неизвестно по состоянию на 2008 год. В наше время политопы и связанные с ними концепции нашли множество важных применений в самых разных областях, таких как компьютерная графика, оптимизация, поисковые системы, космология, квантовая механика и многие другие. В 2013 году был открыт амплитуэдр – упрощающая конструкция, используемая в некоторых расчетах теоретической физики.

Приложения

В области оптимизации линейное программирование изучает максимумы и минимумы линейных функций; эти максимумы и минимумы достигаются на границе n-мерного политопа. В линейном программировании политопы используются при работе с обобщенными барицентрическими координатами и переменными запаса. В теории твисторов, разделе теоретической физики, политоп, называемый амплитуэдром, применяется для вычисления амплитуд рассеяния субатомных частиц при столкновении. Эта конструкция является чисто теоретической и не имеет известных физических проявлений, но, как утверждается, значительно упрощает некоторые вычисления.