Введение
В математике интегральный политоп имеет связанный полином Эрхарта, который кодирует зависимость между объемом политопа и числом точек с целыми координатами, содержащихся в политопе. Теория полиномов Эрхарта может рассматриваться как обобщение теоремы Пика на евклидову плоскость для более высоких размерностей. Эти полиномы названы в честь Эжена Эрхарта, который изучал их в 1960-х годах.
Примеры
Пусть P — d-мерный единичный гиперкуб, вершины которого являются целочисленными точками решетки, все координаты которых равны 0 или 1. В терминах неравенств, t-кратное расширение P является кубом со стороной t, содержащим (t + 1)^d целочисленных точек. То есть, полином Эрхарта гиперкуба равен. Кроме того, если мы вычисляем L(P, t) при отрицательных целых числах, то, как и ожидается от взаимности Эрхарта — Макдональда. Многие другие фигурные числа могут быть выражены как полиномы Эрхарта. Например, квадратные пирамидальные числа задаются полиномами Эрхарта квадратной пирамиды с единичным целым квадратом в качестве основания и высотой, равной единице; полином Эрхарта в этом случае равен.
Then the t fold dilation of P is a cube with side length t, containing (t + 1)^(d) integer points. That is, the Ehrhart polynomial of the hypercube is Additionally, if we evaluate L(P, t) at negative integers, then
as we would expect from Ehrhart–Macdonald reciprocity. Many other figurate numbers can be expressed as Ehrhart polynomials. For instance, the square pyramidal numbers are given by the Ehrhart polynomials of a square pyramid with an integer unit square as its base and with height one; the Ehrhart polynomial in this case is .
Примеры квазиполиномов Эрхарта
Пусть P — многоугольник с вершинами (0,0), (0,2), (1,1) и (2,0). Количество целых точек в tP будет подсчитано квазиполиномом.
Теорема Бетке Кнезера
Ульрих Бетке и Мартин Кнезер установили следующую характеристику коэффициентов Эрхарта. Функционал, определенный на интегральных политопах, является инвариантной оценкой и трансляционно инвариантным, если и только если существуют действительные числа такие, что
Серия Эрхарта для рациональных политопов
Как и в случае политопов с целочисленными вершинами, ряд Эрхарта определяется и для рационального политопа. Для d-мерного рационального политопа P, где D – наименьшее целое число, такое что DP является политопом с целочисленными вершинами (D называется знаменателем P), имеем:
где – по-прежнему неотрицательные целые числа.
Сорт Тори
Случай и объединение этих утверждений приводит к теореме Пика. Формулы для остальных коэффициентов получить гораздо сложнее; для этого использовались классы Тодда торических многообразий, теорема Римана — Роха, а также анализ Фурье. Если X — торическое многообразие, соответствующее нормальному вееру P, то P определяет ample line bundle (обильный линейный расслоение) на X, и полином Эрхарта для P совпадает с полиномом Гильберта этого линейного расслоения. Полиномы Эрхарта можно изучать сами по себе. Например, можно задавать вопросы, связанные с корнями полинома Эрхарта. Более того, некоторые авторы исследовали вопрос о том, как можно классифицировать эти полиномы.
Обобщения
Можно изучить количество целых точек в политопе P, если растянуть некоторые его грани, но не другие. Иными словами, необходимо знать количество целых точек в полурастянутых политопах. Оказывается, такая функция подсчета является так называемым многомерным квазиполиномом. Для такой функции подсчета также будет справедлива теорема о взаимности типа Эрхарта. Подсчет числа целых точек в полудилатациях политопов находит применение при перечислении числа различных триангуляций правильных многоугольников и числа неизоморфных неограниченных кодов – особого типа кодов в теории кодирования.