Абстрактные политопы и их свойства

Введение

Посеть, представляющая определенные свойства политопа.

В математике абстрактный политоп — это алгебраический частично упорядоченный набор, который отражает диадическое свойство традиционного политопа, не определяя при этом чисто геометрические свойства, такие как точки и линии. Геометрический политоп считается реализацией абстрактного политопа в некотором N-мерном реальном пространстве, как правило, евклидовом. Это абстрактное определение позволяет создавать более общие комбинаторные структуры, чем традиционные определения политопа, и, таким образом, порождает новые объекты, не имеющие аналогов в классической теории.

Традиционные и абстрактные политопы

В евклидовой геометрии две фигуры, не являющиеся подобными, тем не менее могут обладать общей структурой. Например, квадрат и трапеция оба состоят из чередующейся последовательности из четырех вершин и четырех сторон, что делает их четырехугольниками. Говорят, что они изоморфны или "сохраняют структуру". Эта общая структура может быть представлена в виде базового абстрактного политопа – чисто алгебраического частично упорядоченного множества, которое отражает закономерность связей (или инциденций) между различными структурными элементами. Измеримые свойства традиционных политопов, такие как углы, длины ребер, асимметрия, прямолинейность и выпуклость, не имеют значения для абстрактного политопа. То, что верно для традиционных политопов (также называемых классическими или геометрическими политопами), может быть неверно для абстрактных, и наоборот. Например, традиционный политоп считается регулярным, если все его грани и вершинные фигуры регулярны, но это не обязательно справедливо для абстрактного политопа.

Реализации

Традиционный политоп называется реализацией соответствующего абстрактного политопа. Реализация — это отображение или инъекция абстрактного объекта в реальное пространство, как правило, евклидово, для построения традиционного политопа как реальной геометрической фигуры. Шесть изображенных четырехугольников — это все различные реализации абстрактного четырехугольника, каждый с различными геометрическими свойствами. Некоторые из них не соответствуют общепринятым определениям четырехугольника и называются неточными реализациями. Корректный политоп — это точная реализация.

Лица, ранги и порядок

В абстрактном политопе каждый структурный элемент (вершина, ребро, ячейка и т. д.) связан с соответствующим элементом множества. Термин "грань" используется для обозначения любого такого элемента, например вершины (0-я грань), ребра (1-я грань) или общей k-й грани, а не только многоугольной 2-й грани. Грани ранжируются в соответствии с их соответствующей реальной размерностью: вершины имеют ранг 0, ребра – ранг 1 и так далее. Взаимно инцидентные грани разных рангов, например, вершина F ребра G, упорядочены отношением F < G. F называется подгранью G.

F и G называются инцидентными, если F = G, или F < G, или G < F. Такое использование термина "инцидентность" также встречается в конечной геометрии, хотя оно отличается от традиционной геометрии и некоторых других областей математики. Например, в квадрате ABCD ребра AB и BC не являются абстрактно инцидентными (хотя оба инцидентны вершине B). Политоп определяется как множество граней P с отношением порядка <. Формально, P (с <) является (строго) частично упорядоченным множеством, или посетом.

Маленькие и большие лица

Так же, как число ноль необходимо в математике, так и каждое множество имеет пустое множество ∅ в качестве подмножества. В абстрактном политопе пустое множество по соглашению отождествляется с наименьшей или нулевой гранью и является подгранью всех остальных. Поскольку наименьшая грань находится на один уровень ниже вершин или 0-граней, её ранг равен −1 и может быть обозначена как F−1. Таким образом, F−1 ≡ ∅, и абстрактный политоп также содержит пустое множество в качестве элемента. Обычно это не осознаётся. Существует также единственная грань, подгранью которой являются все остальные. Она называется наибольшей гранью. В n-мерном политопе наибольшая грань имеет ранг = n и может быть обозначена как Fn. Иногда она представляется как внутренность геометрической фигуры. Эти наименьшие и наибольшие грани иногда называют вырожденными гранями, а все остальные – собственными гранями. ||Грань

Ранг < 1

Для каждого ранга −1 и 0 существует ровно один poset. Это, соответственно, пустая грань и точка. Эти объекты не всегда рассматриваются как корректные абстрактные политопы.

Ранга 1: отрезки линии

Есть только один политоп ранга 1, которым является отрезок прямой. У него есть наименьшая грань, ровно две 0-грани и наибольшая грань, например {ø, a, b, ab}. Следовательно, вершины a и b имеют ранг 0, а наибольшая грань ab, и, соответственно, частично упорядоченное множество, имеют ранг 1.

Рядок 2: полигоны

Для каждого p, 3 ≤ p < ∞, у нас есть (абстрактный эквивалент) традиционного многоугольника с p вершинами и p сторонами, или p-угольник. Для p = 3, 4, 5, у нас есть треугольник, квадрат, пятиугольник.

Для p = 2, у нас есть дигон, а при p = ∞ мы получаем апейрогон.

Хозохедры и хозотопы

Дигон обобщается хозогедроном и хозотопами более высоких размерностей, все из которых могут быть представлены как сферические многогранники – они образуют замощение сферы.

Проективные политопы

Четыре примера нетрадиционных абстрактных многогранников — это гемикуб (изображён), гемиоктаэдр, гемидодекаэдр и гемиикосаэдр. Они являются проективными аналогами платоновых тел и могут быть реализованы как (глобально) проективные полиэдры — они покрывают реальную проективную плоскость. Гемикуб — ещё один пример, когда обозначение вершин нельзя использовать для определения политопа, поскольку все 2-мерные и 3-мерные грани имеют один и тот же набор вершин.

Двойственность

У каждого геометрического политопа есть двойственный политоп. Абстрактно, двойственный политоп – это тот же политоп, но с обратным рангом: диаграмма Хассе отличается только своими обозначениями. В n-мерном политопе каждая из исходных k граней отображается в (n − k − 1)-мерную грань двойственного политопа. Таким образом, например, n-мерная грань отображается в (-1)-мерную грань. Двойственный к двойственному политоп (изоморфен) исходному. Политоп называется самодвойственным, если он совпадает, то есть изоморфен, своему двойственному политопу. Следовательно, диаграмма Хассе самодвойственного политопа должна быть симметрична относительно горизонтальной оси, проходящей посередине между верхней и нижней точками. Квадратная пирамида, приведенная в примере выше, является самодвойственной. Вершинная фигура в вершине V является двойственной к фасете, в которую V отображается в двойственном политопе.

Абстрактные регулярные политопы

Формально, абстрактный политоп определяется как "регулярный", если его группа автоморфизмов действует транзитивно на множестве его флагов. В частности, любые два k-гранных элемента F и G n-политопа "одинаковы", то есть существует автоморфизм, отображающий F в G. Если абстрактный политоп является регулярным, его группа автоморфизмов изоморфна факторгруппе группы Коксетера. Все политопы ранга ≤ 2 являются регулярными. Самыми известными регулярными многогранниками являются пять платоновых тел. Полукуб (изображён) также является регулярным. Неформально, для каждого ранга k это означает, что невозможно отличить любой k-гранный элемент от любого другого – все гранные элементы должны быть идентичными и иметь идентичных соседей, и так далее. Например, куб является регулярным, потому что все его грани – квадраты, вершины каждого квадрата соединены с тремя квадратами, и каждый из этих квадратов соединён с идентичными комбинациями других граней, рёбер и вершин, и так далее. Этого условия достаточно, чтобы гарантировать, что любой регулярный абстрактный политоп имеет изоморфные регулярные (n-1)-грани и изоморфные фигуры регулярных вершин. Это более слабое условие, чем регулярность для традиционных политопов, поскольку оно относится к (комбинаторной) группе автоморфизмов, а не к (геометрической) группе симметрии. Например, любой абстрактный многоугольник является регулярным, поскольку углы, длины рёбер, кривизна рёбер, асимметрия и т. п. не существуют для абстрактных политопов. Существует несколько других более слабых понятий, некоторые из которых ещё не полностью стандартизированы, таких как полурегулярные, квазирегулярные, однородные, хиральные и архимедовы, которые применяются к политопам, у которых некоторые, но не все грани эквивалентны в каждом ранге.

Реализация

Набор точек V в евклидовом пространстве, снабженный сюръекцией из множества вершин абстрактного политопа P, такой что автоморфизмы P индуцируют изометрические перестановки V, называется реализацией абстрактного политопа. Две реализации называются конгруэнтными, если естественное биективное соответствие между их множествами вершин индуцируется изометрией окружающих евклидовых пространств. Если абстрактный n-политоп реализуется в n-мерном пространстве, причем геометрическое расположение не нарушает никаких правил, действующих для традиционных политопов (таких как искривленные грани или ребра нулевого размера), то реализация считается верной (или faithful). В общем случае, лишь ограниченное множество абстрактных политопов ранга n может быть верно реализовано в заданном n-мерном пространстве. Характеризация этого явления остаётся нерешённой проблемой. Для регулярного абстрактного политопа, если комбинаторные автоморфизмы абстрактного политопа реализуются геометрическими симметриями, то полученная геометрическая фигура будет регулярным политопом.

Пространство модулей

Группа G симметрий реализации V абстрактного политопа P порождается двумя отражениями, произведение которых переносит каждую вершину P в следующую. Произведение этих двух отражений можно разложить в произведение ненулевого сдвига, конечного числа вращений и, возможно, тривиального отражения. В общем случае, пространство модулей реализаций абстрактного политопа представляет собой выпуклый конус бесконечной размерности. Конус реализации абстрактного политопа имеет несчетно бесконечное алгебраическое измерение и не может быть замкнутым в евклидовой топологии.

11-я и 57-я ячейки

Клетка 11, открытая независимо друг от друга Х. С. М. Коксетером и Бранко Грунбаумом, является абстрактным 4-политопом. Её грани — геми-икосаэдры. Поскольку её грани топологически представляют собой проективные плоскости, а не сферы, клетка 11 не является тесселяцией какого-либо многообразия в обычном смысле. Вместо этого, 11-я клетка является локально проективным политопом. Она самодвойственна и универсальна: это единственный политоп с геми-икосаэдрическими гранями и геми-додекаэдрическими вершинами. Клетка 57 также самодвойственна, с геми-додекаэдрическими гранями. Она была обнаружена Х. С. М. Коксетером вскоре после открытия 11-й клетки. Как и 11-я клетка, она также универсальна, будучи единственным политопом с геми-додекаэдрическими гранями и геми-икосаэдрическими вершинами. С другой стороны, существует множество других политопов с геми-додекаэдрическими гранями и типом Шлефли {5,3,5}. Универсальный политоп с геми-додекаэдрическими гранями и икосаэдрическими (не геми-икосаэдрическими) вершинами конечен, но очень велик, с 10006920 гранями и вдвое меньшим количеством вершин.

Локальная топология

Проблема объединения исторически рассматривалась в соответствии с локальной топологией. То есть, вместо того, чтобы ограничивать K и L конкретными политопами, им разрешено быть любым политопом с заданной топологией, то есть любым политопом, покрывающим заданное многообразие. Если K и L сферические (то есть, покрытиями топологической сферы), то P называется локально сферическим и само является покрытием некоторого многообразия. Например, если K и L оба являются квадратами (и, следовательно, топологически эквивалентны окружностям), P будет покрытием плоскости, тора или бутылки Клейна квадратами. Покрытие n-мерного многообразия фактически является политопом ранга n + 1. Это согласуется с общепринятым представлением о том, что платоновы тела трехмерны, хотя их можно рассматривать как покрытия двухмерной поверхности сферы. В общем случае, абстрактный политоп называется локально X, если его грани и вершинные фигуры топологически являются либо сферами, либо X, но не одновременно сферами. 11-я и 57-я ячейки являются примерами локально проективных политопов 4 ранга (то есть четырехмерных), поскольку их грани и вершинные фигуры являются покрытиями вещественных проективных плоскостей. Однако в этой терминологии есть недостаток. Она не позволяет легко описать политоп, у которого грани – это торы, а вершинные фигуры – проективные плоскости, например. Еще хуже, если разные грани имеют разную топологию или вообще не имеют четко определенной топологии. Тем не менее, достигнут значительный прогресс в полной классификации локально-тороидальных регулярных политопов.

История

В 1960-х годах Бранко Грунбаум призвал геометрическое сообщество рассмотреть обобщения понятия регулярных политопов, которые он назвал полистроматами. Он разработал теорию полистроматов, представив примеры новых объектов, включая 11-ячейку. 11-ячейка является самодвойственным 4-мерным политопом, чьи грани не являются икосаэдрами, а представляют собой «геми-икосаэдры» — то есть фигуры, получаемые при рассмотрении противоположных граней икосаэдра как одной и той же грани (Grünbaum, 1977). Спустя несколько лет после открытия Грунбаумом 11-ячейки, Х. С. М. Коксетер обнаружил аналогичный политоп, 57-ячейку (Coxeter 1982, 1984), а затем независимо повторно открыл 11-ячейку. Благодаря ранним работам Бранко Грунбаума, Х. С. М. Коксетера и Жака Титса, заложившим основу, основная теория комбинаторных структур, ныне известных как абстрактные политопы, была впервые описана Эгоном Шульте в его докторской диссертации 1980 года. В ней он определил «комплексы регулярных инцидентностей» и «политопы регулярных инцидентностей». Впоследствии он и Питер Макмуллен разработали основы теории в серии исследовательских статей, которые позднее были собраны в книгу. После этого множество других исследователей внесли свой вклад, а первопроходцы (включая Грунбаума) также признали определение Шульте «правильным». С тех пор исследования в теории абстрактных политопов в основном сосредоточены на регулярных политопах, то есть на тех, чьи группы автоморфизмов действуют транзитивно на множестве флагов политопа.