Эргодические потоки: математические основы и приложения.

Введение

В математике эргодические потоки возникают в геометрии, в частности, в виде геодезических и гороциклических потоков на замкнутых гиперболических поверхностях. Оба этих примера получили объяснение в терминах теории унитарных представлений локально компактных групп: если Γ — фундаментальная группа замкнутой поверхности, рассматриваемая как дискретная подгруппа группы Мёбиуса G = PSL(2,R), то геодезический и гороциклический потоки можно отождествить с естественными действиями подгрупп A, состоящих из положительных диагональных матриц, и N, состоящих из нижних унитреугольных матриц, на единичном касательном расслоении G / Γ. Теорема Амброза — Какутани утверждает, что любой эргодический поток можно представить как поток, построенный из обратимой эргодической трансформации на пространстве с мерой с использованием функции потолка. В случае геодезического потока эргодическую трансформацию можно понимать в терминах символической динамики, а также в терминах эргодических действий Γ на границе S¹ = G / AN и G / A = S¹ × S¹ \ diag S¹. Эргодические потоки также естественным образом возникают как инварианты при классификации алгебр фон Неймана: поток весов для фактора типа III₀ является эргодическим потоком на пространстве с мерой.

Индуцированные потоки

Примеры потоков, индуцированных несингулярными обратимыми преобразованиями мерных пространств, были определены в его операторно-теоретическом подходе к классической механике и эргодической теории. Пусть T — несингулярное обратимое преобразование (X, μ), порождающее автоморфизм τ алгебры A = L∞(X). Это порождает обратимое преобразование T ⊗ id пространства мер (X × R, μ × m), где m — мера Лебега, и, следовательно, автоморфизм τ ⊗ id алгебры A ⊗ L∞(R). Трансляция Lt определяет поток на R, сохраняющий m, и, следовательно, поток λt на L∞(R). Пусть S = L1 с соответствующим автоморфизмом σ на L∞(R). Таким образом, τ ⊗ σ дает автоморфизм A ⊗ L∞(R), который коммутирует с потоком id ⊗ λt. Индуцированное мерное пространство Y определяется как B = L∞(Y) = (L∞(X × R))^(τ ⊗ σ), то есть функции, фиксированные автоморфизмом τ ⊗ σ. Оно допускает индуцированный поток, заданный ограничением id ⊗ λt на B. Поскольку λt действует эргодически на L∞(R), следует, что функции, фиксированные потоком, могут быть отождествлены с L∞(X)^τ. В частности, если исходное преобразование эргодично, то индуцируемый им поток также эргодичен.

Потоки, построенные под функцией потолка

В результате этого действия можно также описать в терминах унитарных операторов, и именно этот подход проясняет обобщение на специальные потоки, то есть потоки, построенные с использованием функций потолка. Пусть R — преобразование Фурье на L2(R, m), унитарный оператор, такой что Rλ(t)R* = Vt, где λ(t) — сдвиг на t, а Vt — умножение на e^(itx). Таким образом, Vt принадлежит L∞(R). В частности, V1 = R S R*. Функция потолка h — это функция в A такая, что h ≥ ε при ε > 0. Тогда e^(ihx) дает унитарное представление R в A, непрерывное в топологии сильных операторов и, следовательно, унитарный элемент W из A ⊗ L∞(R), действующий на L2(X, μ) ⊗ L2(R). В частности, W коммутирует с I ⊗ Vt. Следовательно, 1 = W1 = (I ⊗ R*) W (I ⊗ R) коммутирует с I ⊗ λ(t). Действие T на L∞(X) индуцирует унитарный оператор U на L2(X) с использованием квадратного корня из производной Радона — Никодима от μ ∘ T по отношению к μ. Индуцированная алгебра B определяется как субальгебра, коммутирующая с 1 = T ⊗ S. Индуцированный поток σt задается формулой 1 = σt(b) = (I ⊗ λ(t)) b (I ⊗ λ(-t)). Специальный поток, соответствующий функции потолка h с базовым преобразованием T, определяется на алгебре B(H) элементами, коммутирующими с 1 = (T ⊗ I) W1. Индуцированный поток соответствует функции потолка h ≡ 1, постоянной функции. Снова W1, и, следовательно, 1 = (T ⊗ I) W1, коммутирует с I ⊗ λ(t). Специальный поток на B(H) снова задается формулой 1 = σt(b) = (I ⊗ λ(t)) b (I ⊗ λ(-t)). Те же рассуждения, что и для индуцированных действий, показывают, что функции, инвариантные относительно потока, соответствуют функциям в A, инвариантным относительно σ, так что специальный поток является эргодическим, если исходное несингулярное преобразование T является эргодическим.

Отношение к разложению Хопфа

Если St является эргодическим потоком на измеримом пространстве (X,μ), соответствующим 1-параметрической группе автоморфизмов σt алгебры A = L∞(X,μ), то по разложению Хопфа либо каждый St с t ≠ 0 является диссипативным, либо каждый St с t ≠ 0 является консервативным. В диссипативном случае эргодический поток должен быть транзитивным, так что A может быть отождествлена с L∞(R) относительно меры Лебега и R, действующей сдвигом. Чтобы доказать результат для диссипативного случая, заметим, что A = L∞(X,μ) является максимальной абелевой алгеброй фон Неймана, действующей на гильбертово пространство L2(X,μ). Вероятностную меру μ можно заменить эквивалентной инвариантной мерой λ, и существует проекция p в A такая, что σt(p) < p для t > 0 и λ(p – σt(p)) = t. В этом случае σt(p) = E([t,∞)), где E – проекционнозначная мера на R. Эти проекции порождают алгебру фон Неймана B, являющуюся под-алгеброй A. По эргодичности σt(p) → 1 при t → −∞. Гильбертово пространство L2(X,λ) можно отождествить с дополнением подпространства f в A, для которых λ(|f|2) < ∞. Подпространство, соответствующее B, можно отождествить с L2(R), а B – с L∞(R). Поскольку λ инвариантна относительно St, она реализуется унитарным представлением Ut. По теореме Стоуна — фон Неймана для ковариантной системы B, Ut, гильбертово пространство H = L2(X,λ) допускает разложение L2(R) ⊗ C, где B и Ut действуют только на первый тензорный сомножитель. Если существует элемент a из A, не принадлежащий B, то он принадлежит коммутанте B ⊗ C, то есть B' ∩ C'. Следовательно, a можно реализовать как матрицу с элементами в B. Умножая на χ[r,s] в B, элементы a можно считать принадлежащими L∞(R) ∩ L1(R). Для таких функций f, как частный случай эргодической теоремы, среднее значение σt(f) по интервалу [−R,R] сходится в слабой операторной топологии к ∫ f(t) dt. Следовательно, для подходящих χ[r,s] это даст элемент в A, который лежит в C ⊗ B и не является кратным 1 ⊗ I. Но такой элемент коммутирует с Ut, поэтому фиксируется σt, что противоречит эргодичности. Следовательно, A = B = L∞(R). Когда все σt с t ≠ 0 консервативны, поток называется правильно эргодическим. В этом случае следует, что для каждого ненулевого p в A и t ≠ 0, p ≤ σt(p) ∨ σ2t(p) ∨ σ3t(p) ∨ ⋅⋅⋅. В частности, sup±t>0 σt(p) = 1 для p ≠ 0.

If St is an ergodic flow on the measure space (X,μ) corresponding to a 1 parameter group of automorphisms σt of A = L∞(X,μ), then by the Hopf decomposition either every St with t ≠ 0 is dissipative or every St with t ≠ 0 is conservative. In the dissipative case, the ergodic flow must be transitive, so that A can be identified with L∞(R) under Lebesgue measure and R acting by translation. To prove the result on the dissipative case, note that A = L∞(X,μ) is a maximal Abelian von Neumann algebra acting on the Hilbert space L2(X,μ). The probability measure μ can be replaced by an equivalent invariant measure λ and there is a projection p in A such that σt(p) < p for t > 0 and λ(p – σt(p)) = t. In this case σt(p) =E([t,∞)) where E is a projection valued measure on R. These projections generate a von Neumann subalgebra B of A. By ergodicity σt(p) 1 as t tends to −∞. The Hilbert space L2(X,λ) can be identified with the completion of the subspace of f in A with λ(|f|2) < ∞. The subspace corresponding to B can be identified with L2(R) and B with L∞(R). Since λ is invariant under St, it is implemented by a unitary representation Ut. By the Stone–von Neumann theorem for the covariant system B, Ut, the Hilbert space H = L2(X,λ) admits a decomposition L2(R) ⊗ where B and Ut act only on the first tensor factor. If there is an element a of A not in B, then it lies in the commutant of B ⊗ C, i. e. in B B If can thus be realised as a matrix with entries in B. Multiplying by χ[r,s] in B, the entries of a can be taken to be in L∞(R) ∩ L1(R). For such functions f, as an elementary case of the ergodic theorem the average of σt(f) over [−R,R] tends in the weak operator topology to ∫ f(t) dt. Hence for appropriate χ[r,s] this will produce an element in A which lies in C ⊗ B and is not a multiple of 1 ⊗ I. But such an element commutes with Ut so is fixed by σt, contradicting ergodicity. Hence A = B = L∞(R). When all the σt with t ≠ 0 are conservative, the flow is said to be properly ergodic. In this case it follows that for every non zero p in A and t ≠ 0, p ≤ σt (p) ∨ σ2t (p) ∨ σ3t (p) ∨ ⋅⋅⋅ In particular ∨±t>0 σt (p) = 1 for p ≠ 0.