Введение
Формулирование голографии с использованием алгебраической КТП
Алгебраическая голография, также иногда называемая дуальностью Ререна, — это попытка понять голографический принцип квантовой гравитации в рамках алгебраической квантовой теории поля, предпринятая Карлом Хеннингом Ререном. Иногда её описывают как альтернативную формулировку соответствия AdS/CFT в теории струн, однако некоторые теоретики струн отвергают это утверждение. Теории, рассматриваемые в алгебраической голографии, не удовлетворяют обычному голографическому принципу, поскольку их энтропия подчиняется степенному закону с более высокой размерностью.
Algebraic holography, also sometimes called Rehren duality, is an attempt to understand the holographic principle of quantum gravity within the framework of algebraic quantum field theory, due to Karl Henning Rehren. It is sometimes described as an alternative formulation of the AdS/CFT correspondence of string theory, but some string theorists reject this statement The theories discussed in algebraic holography do not satisfy the usual holographic principle because their entropy follows a higher dimensional power law.
Двойственность Рехрена
Конформальная граница пространства анти-де-Ситтера (или его универсального покрывающего пространства) является конформным пространством Минковского (или его универсальным покрывающим пространством) с одним меньшим измерением. Будем работать с универсальными покрывающими пространствами. В рамках AQFT, квантовая теория поля в конформном пространстве задается конформно ковариантной сетью C*-алгебр над конформным пространством, а квантовая теория поля в AdS задается ковариантной сетью C*-алгебр над AdS. Любые две различные нулевые геодезические гиперповерхности кодименсионности 1, пересекающиеся в AdS более чем в одной точке, разделяют AdS на четыре различные области, две из которых являются пространственно-подобными. Каждая из этих двух пространственно-подобных областей называется клином. Геометрически установлено, что конформная граница клина представляет собой двойной конус в конформной границе, и что любому двойному конусу в конформной границе соответствует единственный клин. Иными словами, существует взаимно однозначное соответствие между двойными конусами в CFT и клинами в AdS. Легко показать, что любая CFT, определенная в терминах алгебр над двойными конусами, удовлетворяющими аксиомам Гаага — Кастлера, также порождает сеть над AdS, удовлетворяющую этим аксиомам, если предположить, что алгебра, связанная с клином, идентична алгебре, связанной с соответствующим двойным конусом, и наоборот. Это соответствие между AQFT с обеих сторон называется алгебраической голографией. В отличие от обычной корреспонденции AdS/CFT, двойственная теория Ререна на стороне AdS не является теорией квантовой гравитации, поскольку на стороне AdS отсутствует очевидная диффеоморфная ковариантность. Кроме того, если алгебра, связанная с любым двойным конусом в AdS, нетривиальна (то есть содержит элементы, отличные от единичного), соответствующая CFT не удовлетворяет примитивной причинности. Следовательно, можно заключить, что дуальная AdS Rehren любого реалистичного CFT не имеет локальных степеней свободы (клинья некомпактны).
Различия по сравнению с AdS/CFT
В AdS/CFT, граничные значения объемных полей являются источниками операторов теории на границе. В дуальности Рехрена граничные значения объемных полей являются самими операторами теории на границе. В AdS/CFT, объемная теория обязательно является гравитационной. Источником сохраняющегося тензора энергии-импульса теории на границе является граничное значение метрического тензора объема. В дуальности Рехрена объемная теория является "обычной" (негравитационной) квантовой теорией поля.