Формализм в теории струн

Введение

Теория поля струн (SFT) — это формализм в теории струн, в котором динамика релятивистских струн переформулируется на языке квантовой теории поля. Это достигается на уровне теории возмущений путем нахождения набора вершин для соединения и расщепления струн, а также струнных пропагаторов, которые дают расширение, подобное диаграммам Фейнмана, для амплитуд рассеяния струн. В большинстве теорий поля струн это расширение кодируется классическим действием, полученным путем второго квантования свободной струны и добавления членов взаимодействия. Как это обычно происходит при втором квантовании, классическая полевая конфигурация второй квантованной теории задается волновой функцией в исходной теории. В случае теории струнных полей это означает, что классическая конфигурация, обычно называемая полем струн, задается элементом свободного пространства Фока струн. Основными преимуществами формализма являются возможность вычисления амплитуд вне оболочки и, при наличии классического действия, получение непертурбативной информации, которую нельзя непосредственно получить из стандартного разложения по роду рассеяния струн. В частности, после работ Ашока Сена, он оказался полезным в изучении конденсации тахионов на неустойчивых D-бранах. Он также нашел применение в топологической теории струн, некоммутативной геометрии и струнах в низких размерностях. Теории поля струн представлены в различных вариантах в зависимости от типа струн, подвергаемых второму квантованию: теории поля открытых струн описывают рассеяние открытых струн, теории поля закрытых струн описывают закрытые струны, а теории поля открытых-закрытых струн включают как открытые, так и закрытые струны. Кроме того, в зависимости от метода, используемого для фиксации диффеоморфизмов и конформных преобразований мирового листа в исходной свободной теории струн, получающиеся теории поля струн могут существенно различаться. Использование светового конуса приводит к теориям поля струн светового конуса, в то время как использование квантования BRST позволяет получить ковариантные теории поля струн. Существуют также гибридные теории струнных полей, известные как ковариантизированные теории струнных полей светового конуса, которые используют элементы как теории поля струн светового конуса, так и теории поля струн BRST с фиксированной калибровкой. Наконец, существует форма теории струнных полей, известная как независимая от фона открытая теория струнных полей, которая имеет совершенно иную форму; вместо второго квантования теории струн мирового листа, она подвергает второму квантованию пространство двухмерных квантовых теорий поля.

String field theory (SFT) is a formalism in string theory in which the dynamics of relativistic strings is reformulated in the language of quantum field theory. This is accomplished at the level of perturbation theory by finding a collection of vertices for joining and splitting strings, as well as string propagators, that give a Feynman diagram like expansion for string scattering amplitudes. In most string field theories, this expansion is encoded by a classical action found by second quantizing the free string and adding interaction terms. As is usually the case in second quantization, a classical field configuration of the second quantized theory is given by a wave function in the original theory. In the case of string field theory, this implies that a classical configuration, usually called the string field, is given by an element of the free string Fock space. The principal advantages of the formalism are that it allows the computation of off shell amplitudes and, when a classical action is available, gives non perturbative information that cannot be seen directly from the standard genus expansion of string scattering. In particular, following the work of Ashoke Sen, it has been useful in the study of tachyon condensation on unstable D branes. It has also had applications to topological string theory, non commutative geometry, and strings in low dimensions. String field theories come in a number of varieties depending on which type of string is second quantized: Open string field theories describe the scattering of open strings, closed string field theories describe closed strings, while open closed string field theories include both open and closed strings. In addition, depending on the method used to fix the worldsheet diffeomorphisms and conformal transformations in the original free string theory, the resulting string field theories can be very different. Using light cone gauge, yields light cone string field theories whereas using BRST quantization, one finds covariant string field theories. There are also hybrid string field theories, known as covariantized light cone string field theories which use elements of both light cone and BRST gauge fixed string field theories. A final form of string field theory, known as background independent open string field theory, takes a very different form; instead of second quantizing the worldsheet string theory, it second quantizes the space of two dimensional quantum field theories.

Свободная ковариантная теория струнных полей

Важным шагом в построении ковариантных теорий струнных полей (сохраняющих манифестную Лоренц-инвариантность) было построение ковариантного кинетического члена. Этот кинетический член можно рассматривать как теорию поля струн саму по себе: теорию поля струн свободных струн. С момента работы Уоррена Сигеля стало стандартным сначала БРСТ-квантовать теорию свободных струн, а затем второй квантовать так, чтобы классические поля теории струнных полей включали призраки, а также поля материи. Например, в случае бозонной открытой теории струн в 26-мерном плоском пространстве-времени общий элемент пространства Фока БРСТ-квантованной струны принимает форму (в радиальной квантизации в верхней полуплоскости):

где – вакуум свободной струны, а точки представляют более массивные поля. В языке теории струн мирового листа , , и представляют амплитуды для обнаружения струны в различных базисных состояниях. После второй квантизации они интерпретируются как классические поля, представляющие тахион , калибровочное поле и поле-призрак . В теории струн мирового листа нефизические элементы пространства Фока удаляются путем наложения условия а также отношения эквивалентности . После второй квантизации отношение эквивалентности интерпретируется как калибровочная инвариантность, а условие, что физично, интерпретируется как уравнение движения. Поскольку физические поля живут при призрачном числе один, также предполагается, что строчное поле является элементом призрачного числа один пространства Фока. В случае открытой бозонной струны действие с фиксированной калибровкой, обладающее соответствующими симметриями и уравнениями движения, первоначально было получено Андре Неву, Германом Николаем и Питером К. Вестом. Оно задается выражением:

где – BPZ-двойственное к .
Для бозонной замкнутой струны построение БРСТ-инвариантного кинетического члена дополнительно требует наложения условий и . Тогда кинетический член имеет вид:

Для суперструн требуются дополнительные соображения для работы с нулевыми модами суперпризраков.

Суперсимметричные ковариантные открытые теории струнных полей

Существует две основные конструкции суперсимметричных расширений кубической открытой теории поля струн Виттена. Первая по форме очень похожа на свою бозонную версию и известна как модифицированная кубическая суперструнная теория поля. Вторая, разработанная Натаном Берковицем, существенно отличается и основана на действии типа WZW.

Другие формулировки ковариантной открытой суперструнной теории поля

Берковиц ввёл формулировку теории суперструнных полей с использованием неминимальных чистых спинорных переменных. Действие кубическое и включает вставку в середине, ядро которой тривиально. Как и всегда в рамках чистой спинорной формулировки, сектор Рамонда может быть легко рассмотрен. Однако неизвестно, как включить сектора ГСО в этот формализм. В попытке разрешить предположительно проблемную вставку средней точки модифицированной кубической теории, Берковиц и Сигель предложили теорию поля суперструн, основанную на неминимальном расширении струн RNS, использующую вставку средней точки без ядра. Неясно, превосходят ли такие вставки вставку средней точки с нетривиальным ядром каким-либо образом.

Ковариантная теория поля замкнутой струны

Ковариантные теории поля с замкнутой строкой значительно сложнее, чем их открытые аналоги. Даже если кто-то захочет построить теорию поля струн, воспроизводящую только взаимодействия на уровне дерева для замкнутых струн, классическое действие должно содержать бесконечное число вершин, состоящих из струнных полиэдров. Если требуется, чтобы диаграммы рассеяния на оболочке воспроизводились во всех порядках разложения по константе связи струн, необходимо также включать дополнительные вершины, возникающие из поверхностей более высокого рода (и, следовательно, более высокого порядка в константе связи). В общем случае, явно BV-инвариантное и квантуемое действие имеет вид

где обозначает вершину порядка *n*, возникающую с поверхности рода *g*, а *g<sub>s</sub>* — константа связи замкнутых струн. Структура вершин в принципе определяется принципом минимальной площади, однако даже для полиэдральных вершин явные вычисления были выполнены лишь до пятого порядка.

Ковариантная гетеротическая теория струнного поля

Формулировка NS-сектора гетеротической струны была предложена Берковицем, Окавой и Цвибахом. Эта формулировка объединяет бозонную теорию поля замкнутых струн с суперструнной теорией поля Берковица.