Теория M: Путь к Объединению Всех Струнных Теорий

Введение

Фреймворк теории суперструн

М-теория — это теория в физике, объединяющая все непротиворечивые версии теории суперструн. Эдвард Виттен впервые высказал предположение о существовании такой теории на конференции по теории струн в Университете Южной Калифорнии в 1995 году. Это заявление Виттена положило начало активным исследованиям, известным как вторая суперструнная революция. До заявления Виттена теоретики струн выявили пять версий теории суперструн. Хотя эти теории изначально казались весьма различными, работы многих физиков показали, что они связаны сложными и нетривиальными способами. Физики обнаружили, что, казалось бы, различные теории могут быть объединены математическими преобразованиями, называемыми S-двойственностью и T-двойственностью. Предположение Виттена основывалось отчасти на существовании этих двойственностей и отчасти на связи теорий струн с теорией поля, называемой одиннадцатимерной супергравитацией. Хотя полного математического описания М-теории пока не существует, такое описание должно включать двух- и пятимерные объекты, называемые бранами, и должно приближаться к одиннадцатимерной супергравитации при низких энергиях. Современные попытки сформулировать М-теорию обычно основаны на теории матриц или на AdS/CFT-соответствии. По словам Виттена, буква "M" может означать "магия", "тайна" или "мембрана" – на усмотрение исследователя, а истинное значение названия должно быть определено, когда будет найдена более фундаментальная формулировка теории. Исследования математической структуры М-теории привели к важным теоретическим результатам в физике и математике. Более спекулятивно, М-теория может предоставить основу для разработки единой теории всех фундаментальных сил природы. Попытки связать М-теорию с экспериментом обычно сосредоточены на компактификации её дополнительных измерений для построения моделей-кандидатов четырехмерного мира, однако пока ни одна из них не была подтверждена экспериментально и не привела к результатам, согласующимся с данными экспериментов в области физики высоких энергий.

Квантовая гравитация и струны

Одна из самых глубоких проблем современной физики — это проблема квантовой гравитации. Нынешнее понимание гравитации основано на общей теории относительности Альберта Эйнштейна, сформулированной в рамках классической физики. Однако негравитационные силы описываются в рамках квантовой механики, радикально отличающегося формализма для описания физических явлений, основанного на вероятности. Квантовая теория гравитации необходима для согласования общей теории относительности с принципами квантовой механики, но возникают трудности при попытке применить обычные методы квантовой теории к силе гравитации. Теория струн — это теоретическая структура, стремящаяся согласовать гравитацию и квантовую механику. В теории струн точечные частицы физики частиц заменяются одномерными объектами, называемыми струнами. Теория струн описывает, как струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. В данной версии теории струн существует только один тип струн, который может выглядеть как маленькая петля или сегмент обычной струны, и он может вибрировать различными способами. На расстояниях, превышающих масштаб струны, струна будет выглядеть как обычная частица, с массой, зарядом и другими свойствами, определяемыми её вибрационным состоянием. Таким образом, все различные элементарные частицы можно рассматривать как вибрирующие струны. Одно из вибрационных состояний струны порождает гравитон — квантово-механическую частицу, переносящую гравитационную силу. Существует несколько версий теории струн: тип I, тип IIA, тип IIB и два варианта гетеротической теории струн (специальная ортогональная группа и E8 (математика)). Различные теории допускают различные типы струн, а частицы, возникающие при низких энергиях, обладают разной симметрией. Например, теория типа I включает как открытые струны (сегменты с конечными точками), так и замкнутые струны (образующие замкнутые петли), в то время как типы IIA и IIB включают только замкнутые струны. Каждая из этих пяти теорий струн возникает как частный предельный случай теории М. Эта теория, как и её предшественницы в теории струн, является примером квантовой теории гравитации. Она описывает силу, подобную привычной гравитационной силе, подчиняющуюся правилам квантовой механики.

One of the deepest problems in modern physics is the problem of quantum gravity. The current understanding of gravity is based on Albert Einstein's general theory of relativity, which is formulated within the framework of classical physics. However, nongravitational forces are described within the framework of quantum mechanics, a radically different formalism for describing physical phenomena based on probability. A quantum theory of gravity is needed in order to reconcile general relativity with the principles of quantum mechanics, but difficulties arise when one attempts to apply the usual prescriptions of quantum theory to the force of gravity. String theory is a theoretical framework that attempts to reconcile gravity and quantum mechanics. In string theory, the point like particles of particle physics are replaced by one dimensional objects called strings. String theory describes how strings propagate through space and interact with each other. In a given version of string theory, there is only one kind of string, which may look like a small loop or segment of ordinary string, and it can vibrate in different ways. On distance scales larger than the string scale, a string will look just like an ordinary particle, with its mass, charge, and other properties determined by the vibrational state of the string. In this way, all of the different elementary particles may be viewed as vibrating strings. One of the vibrational states of a string gives rise to the graviton, a quantum mechanical particle that carries gravitational force. There are several versions of string theory: type I, type IIA, type IIB, and two flavors of heterotic string theory ([[special orthogonal group and [[E8 (mathematics)). The different theories allow different types of strings, and the particles that arise at low energies exhibit different symmetries. For example, the type I theory includes both open strings (which are segments with endpoints) and closed strings (which form closed loops), while types IIA and IIB include only closed strings. Each of these five string theories arises as a special limiting case of M theory. This theory, like its string theory predecessors, is an example of a quantum theory of gravity. It describes a force just like the familiar gravitational force subject to the rules of quantum mechanics.

Количество размеров

В повседневной жизни мы воспринимаем три измерения пространства: высоту, ширину и глубину. Общая теория относительности Эйнштейна рассматривает время как измерение, равноправное трем пространственным измерениям; в рамках общей теории относительности пространство и время не рассматриваются как отдельные сущности, а объединяются в четырехмерное пространство-время, состоящее из трех пространственных и одного временного измерения. В этой концепции гравитация рассматривается как следствие геометрии пространства-времени. Несмотря на то, что Вселенная хорошо описывается четырехмерным пространством-временем, существует несколько причин, по которым физики исследуют теории в других измерениях. В некоторых случаях, моделирование пространства-времени в ином числе измерений упрощает математический аппарат теории, позволяя легче проводить вычисления и получать общие представления. Также существуют ситуации, когда теории в двух или трех измерениях пространства-времени полезны для описания явлений в физике конденсированного состояния. Наконец, возможны сценарии, в которых реально существует больше четырех измерений пространства-времени, но они до сих пор не обнаружены. Одной из характерных особенностей теории струн и М-теории является то, что для своей математической непротиворечивости они требуют дополнительных измерений пространства-времени. В теории струн пространство-время десятимерно (девять пространственных и одно временное измерение), а в М-теории – одиннадцатимерно (десять пространственных и одно временное измерение). Чтобы описать реальные физические явления с помощью этих теорий, необходимо представить сценарии, в которых эти дополнительные измерения не будут наблюдаться в экспериментах. Компактификация – один из способов изменения числа измерений в физической теории. При компактификации некоторые из дополнительных измерений предполагается "сворачиваться" в окружности. В пределе, когда эти свернутые измерения становятся очень малыми, получается теория, в которой пространство-время эффективно имеет меньшее число измерений. Классическая аналогия – садовый шланг. Если смотреть на шланг издалека, он кажется одномерным – имеет только длину. Однако, приближаясь к шлангу, мы обнаруживаем, что он обладает и вторым измерением – окружностью. Таким образом, муравей, ползущий по поверхности шланга, движется в двух измерениях.

In everyday life, there are three familiar dimensions of space: height, width and depth. Einstein's general theory of relativity treats time as a dimension on par with the three spatial dimensions; in general relativity, space and time are not modeled as separate entities but are instead unified to a four dimensional spacetime, three spatial dimensions and one time dimension. In this framework, the phenomenon of gravity is viewed as a consequence of the geometry of spacetime. In spite of the fact that the universe is well described by four dimensional spacetime, there are several reasons why physicists consider theories in other dimensions. In some cases, by modeling spacetime in a different number of dimensions, a theory becomes more mathematically tractable, and one can perform calculations and gain general insights more easily. There are also situations where theories in two or three spacetime dimensions are useful for describing phenomena in condensed matter physics. Finally, there exist scenarios in which there could actually be more than four dimensions of spacetime which have nonetheless managed to escape detection. One notable feature of string theory and M theory is that these theories require extra dimensions of spacetime for their mathematical consistency. In string theory, spacetime is ten dimensional (nine spatial dimensions, and one time dimension), while in M theory it is eleven dimensional (ten spatial dimensions, and one time dimension). In order to describe real physical phenomena using these theories, one must therefore imagine scenarios in which these extra dimensions would not be observed in experiments. Compactification is one way of modifying the number of dimensions in a physical theory. In compactification, some of the extra dimensions are assumed to "close up" on themselves to form circles. In the limit where these curled up dimensions become very small, one obtains a theory in which spacetime has effectively a lower number of dimensions. A standard analogy for this is to consider a multidimensional object such as a garden hose. If the hose is viewed from a sufficient distance, it appears to have only one dimension, its length. However, as one approaches the hose, one discovers that it contains a second dimension, its circumference. Thus, an ant crawling on the surface of the hose would move in two dimensions.

Двойственность

Теории, возникающие как различные пределы M-теории, оказываются связанными весьма нетривиальным образом. Одной из связей, которые могут существовать между этими различными физическими теориями, является S-дуальность. Это соотношение, утверждающее, что набор сильно взаимодействующих частиц в одной теории в некоторых случаях может рассматриваться как набор слабо взаимодействующих частиц в совершенно иной теории. В общих чертах, набор частиц считается сильно взаимодействующим, если они часто объединяются и распадаются, а слабо взаимодействующим – если это происходит редко. Теория струн I типа оказывается эквивалентной по S-дуальности гетеротической струнной теории SO(32). Аналогично, теория струн типа IIB связана с собой нетривиальным образом посредством S-дуальности. Другой связью между различными струнными теориями является T-дуальность. В этом случае рассматриваются струны, распространяющиеся вокруг компактного дополнительного измерения в форме окружности. T-дуальность утверждает, что струна, распространяющаяся вокруг окружности радиуса R, эквивалентна струне, распространяющейся вокруг окружности радиуса 1/R, в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в двойном описании. Например, струна имеет импульс при распространении вокруг окружности, а также может обматываться вокруг окружности один или несколько раз. Число обмоток струны вокруг окружности называется числом обмоток. Если струна имеет импульс p и число обмоток n в одном описании, то в двойном описании она будет иметь импульс n и число обмоток p. Например, теория струн типа IIA эквивалентна теории струн типа IIB посредством T-дуальности, а две версии гетеротической струнной теории также связаны T-дуальностью.

Суперсимметрия

Еще одна важная теоретическая идея, играющая роль в М-теории, — это суперсимметрия. Это математическое соотношение, существующее в определенных физических теориях между классом частиц, называемых бозонами, и классом частиц, называемых фермионами. Если говорить упрощенно, фермионы являются строительными блоками материи, а бозоны — посредниками взаимодействий между частицами. В теориях с суперсимметрией каждый бозон имеет соответствующий фермион, и наоборот. Когда суперсимметрия накладывается как локальная симметрия, автоматически получается квантовомеханическая теория, включающая гравитацию. Такая теория называется теорией супергравитации. Теория струн, включающая идею суперсимметрии, называется теорией суперструн. Существует несколько различных версий теории суперструн, которые все объединены в рамках М-теории. При низких энергиях теории суперструн аппроксимируются супергравитацией в десяти измерениях пространства-времени. Аналогично, М-теория при низких энергиях аппроксимируется супергравитацией в одиннадцати измерениях. В теории струн фундаментальными объектами, порождающими элементарные частицы, являются одномерные струны. Хотя физические явления, описываемые М-теорией, до сих пор недостаточно изучены, физики знают, что теория описывает двух- и пятимерные браны. Большая часть современных исследований в области М-теории направлена на лучшее понимание свойств этих бран.

Теория Калуза-Клейна

В начале 20-го века физики и математики, включая Альберта Эйнштейна и Германа Минковского, стали пионерами в использовании четырехмерной геометрии для описания физического мира. Эти усилия завершились формулированием общей теории относительности Эйнштейна, которая связывает гравитацию с геометрией четырехмерного пространства-времени. Успех общей теории относительности стимулировал попытки применить геометрию более высоких измерений для объяснения других сил. В 1919 году работа Теодора Калуцы показала, что переход к пятимерному пространству-времени позволяет объединить гравитацию и электромагнетизм в единую силу. Теория Калуцы — Клейна и последовавшие за ней попытки Эйнштейна разработать единую теорию поля не увенчались полным успехом. Это было связано, отчасти, с тем, что теория Калуцы — Клейна предсказывала существование частицы (радиона), которое так и не было подтверждено экспериментально, а отчасти – с неспособностью теории правильно предсказать отношение массы электрона к его заряду. Более того, эти теории разрабатывались одновременно с началом открытий в области квантовой механики, которая в конечном итоге оказалась успешной в описании известных сил, таких как электромагнетизм, а также новых ядерных сил, открытых в середине века. Таким образом, потребовалось почти полвека, чтобы идея дополнительных измерений была вновь воспринята всерьез.

Ранние работы по супергравитации

Новые концепции и математические инструменты дали новые представления об общей теории относительности, что привело к периоду в 1960-х – 1970-х годах, ныне известному как золотой век общей теории относительности. В середине 1970-х годов физики начали изучать теории с большим числом измерений, объединяющие общую теорию относительности с суперсимметрией, так называемые теории супергравитации. Общая теория относительности не накладывает никаких ограничений на возможное число измерений пространства-времени. Хотя теория обычно формулируется в четырех измерениях, можно записать те же уравнения для гравитационного поля в любом количестве измерений. Супергравитация более ограничена, поскольку устанавливает верхнюю границу на число измерений. В том же году Эжен Кремер, Бернар Жюлия и Жоэль Шерк из Высшей нормальной школы показали, что супергравитация не только допускает до одиннадцати измерений, но и наиболее элегантна именно в этом максимальном числе измерений. Первоначально многие физики надеялись, что, компактифицируя одиннадцатимерную супергравитацию, можно будет построить реалистичные модели нашего четырехмерного мира. Предполагалось, что такие модели обеспечат единое описание четырех фундаментальных сил природы: электромагнетизма, сильного и слабого ядерных взаимодействий и гравитации. Интерес к одиннадцатимерной супергравитации вскоре угас, поскольку были обнаружены различные недостатки в этой схеме. Одной из проблем было то, что законы физики, по-видимому, различают между направлением по часовой стрелке и против часовой стрелки, явление, известное как хиральность. Эдвард Виттен и другие отметили, что это свойство хиральности не может быть легко получено путем компактификации из одиннадцати измерений. В конце 1970-х годов Клаус Монтонен и Дэвид Олив выдвинули предположение об особом свойстве некоторых физических теорий. Уточненная версия их предположения касается теории, называемой суперсимметричной теорией Янга — Миллса, которая описывает теоретические частицы, формально похожие на кварки и глюоны, составляющие атомные ядра. Интенсивность взаимодействия частиц в этой теории измеряется числом, называемым константой связи. Результат Монтонена и Олив, ныне известный как двойственность Монтонена — Олив, утверждает, что суперсимметричная теория Янга — Миллса с константой связи g эквивалентна той же теории с константой связи 1/g. Иными словами, система сильно взаимодействующих частиц (большая константа связи) имеет эквивалентное описание как система слабо взаимодействующих частиц (малая константа связи) и наоборот, в отношении спинового момента. В 1990-х годах несколько теоретиков обобщили двойственность Монтонена — Олив до S-двойственности, которая связывает различные теории струн. Ашоке Сен изучал S-двойственность в контексте гетеротических струн в четырех измерениях. Крис Халл и Пол Таунсенд показали, что теория струн типа IIB с большой константой связи эквивалентна, посредством S-двойственности, той же теории с малой константой связи. Теоретики также обнаружили, что различные теории струн могут быть связаны T-двойственностью. Эта двойственность подразумевает, что струны, распространяющиеся на совершенно разных геометриях пространства-времени, могут быть физически эквивалентными.

New concepts and mathematical tools provided fresh insights into general relativity, giving rise to a period in the 1960s–70s now known as the golden age of general relativity. In the mid 1970s, physicists began studying higher dimensional theories combining general relativity with supersymmetry, the so called supergravity theories. General relativity does not place any limits on the possible dimensions of spacetime. Although the theory is typically formulated in four dimensions, one can write down the same equations for the gravitational field in any number of dimensions. Supergravity is more restrictive because it places an upper limit on the number of dimensions. In the same year, Eugène Cremmer, Bernard Julia, and Joël Scherk of the École Normale Supérieure showed that supergravity not only permits up to eleven dimensions but is in fact most elegant in this maximal number of dimensions. Initially, many physicists hoped that by compactifying eleven dimensional supergravity, it might be possible to construct realistic models of our four dimensional world. The hope was that such models would provide a unified description of the four fundamental forces of nature: electromagnetism, the strong and weak nuclear forces, and gravity. Interest in eleven dimensional supergravity soon waned as various flaws in this scheme were discovered. One of the problems was that the laws of physics appear to distinguish between clockwise and counterclockwise, a phenomenon known as chirality. Edward Witten and others observed this chirality property cannot be readily derived by compactifying from eleven dimensions. In the late 1970s, Claus Montonen and David Olive had conjectured a special property of certain physical theories. A sharpened version of their conjecture concerns a theory called supersymmetric Yang–Mills theory, which describes theoretical particles formally similar to the quarks and gluons that make up atomic nuclei. The strength with which the particles of this theory interact is measured by a number called the coupling constant. The result of Montonen and Olive, now known as Montonen–Olive duality, states that supersymmetric Yang–Mills theory with coupling constant g is equivalent to the same theory with coupling constant 1/g. In other words, a system of strongly interacting particles (large coupling constant) has an equivalent description as a system of weakly interacting particles (small coupling constant) and vice versa by spin moment. In the 1990s, several theorists generalized Montonen–Olive duality to the S duality relationship, which connects different string theories. Ashoke Sen studied S duality in the context of heterotic strings in four dimensions. Chris Hull and Paul Townsend showed that type IIB string theory with a large coupling constant is equivalent via S duality to the same theory with small coupling constant. Theorists also found that different string theories may be related by T duality. This duality implies that strings propagating on completely different spacetime geometries may be physically equivalent.

Мембраны и пятимембраны

Теория струн расширяет обычную физику частиц, заменяя нулевые точечные частицы одномерными объектами, называемыми струнами. В конце 1980-х годов теоретики начали разрабатывать другие расширения, в которых частицы заменяются двумерными супермембранами или объектами с более высокой размерностью, называемыми бранами. Такие объекты рассматривались еще в 1962 году Полом Дираком, а в 1980-х годах их вновь исследовали небольшая, но воодушевленная группа физиков. Интуитивно эти объекты выглядят как листы или мембраны, распространяющиеся в одиннадцатимерном пространстве-времени. Вскоре после этого открытия Майкл Дафф, Пол Хоу, Такео Инами и Келлог Стеле рассмотрели конкретную компактификацию одиннадцатимерной сверхгравитации, в которой одно из измерений свернуто в окружность. В этом случае можно представить мембрану, оборачивающуюся вокруг этой окружности. Если радиус окружности достаточно мал, то эта мембрана выглядит как струна в десятимерном пространстве-времени. Фактически, Дафф и его коллеги показали, что эта конструкция точно воспроизводит струны, возникающие в теории суперструн типа IIA. Первоначально физики не могли доказать эту связь по двум важным причинам. С одной стороны, двойственность Монтонена — Оливье оставалась недоказанной, поэтому гипотеза Стромингера была еще более уязвимой. С другой стороны, существовало множество технических проблем, связанных с квантовыми свойствами пятимерных бран. Первая из этих проблем была решена в 1993 году, когда Ашоке Сен доказал, что определенные физические теории требуют существования объектов, обладающих как электрическим, так и магнитным зарядом, что было предсказано работами Монтонена и Оливье. Несмотря на этот прогресс, связь между струнами и пятимерными бранами оставалась гипотетической, поскольку теоретики не могли квантовать браны. Начиная с 1991 года, группа исследователей, включающая Майкла Даффа, Рамзи Хури, Цзяньсина Лу и Рубена Минасиана, рассмотрела специальную компактификацию теории струн, в которой четыре из десяти измерений скручиваются. Если рассматривать пятимерную брану, обернутую вокруг этих дополнительных измерений, то она выглядит как одномерная струна. Таким образом, предполагаемая связь между струнами и бранами была сведена к связи между струнами и струнами, которую можно было проверить с использованием уже существующих теоретических методов. В месяцы, последовавшие за объявлением Виттена, в Интернете появилось множество новых статей, подтверждающих, что новая теория в значительной степени включает мембраны. Сегодня этот всплеск активности известен как вторая суперструнная революция. Одним из важных событий, последовавших за объявлением Виттена, стала работа Виттена в 1996 году со специалистом по теории струн Петром Хоравой. Виттен и Хорава изучали M-теорию на специальной геометрии пространства-времени с двумя десятимерными граничными компонентами. Их работа пролила свет на математическую структуру M-теории и предложила возможные способы связи M-теории с физикой реального мира.

String theory extends ordinary particle physics by replacing zero dimensional point particles by one dimensional objects called strings. In the late 1980s, it was natural for theorists to attempt to formulate other extensions in which particles are replaced by two dimensional supermembranes or by higher dimensional objects called branes. Such objects had been considered as early as 1962 by Paul Dirac, and they were reconsidered by a small but enthusiastic group of physicists in the 1980s. Intuitively, these objects look like sheets or membranes propagating through the eleven dimensional spacetime. Shortly after this discovery, Michael Duff, Paul Howe, Takeo Inami, and Kellogg Stelle considered a particular compactification of eleven dimensional supergravity with one of the dimensions curled up into a circle. In this setting, one can imagine the membrane wrapping around the circular dimension. If the radius of the circle is sufficiently small, then this membrane looks just like a string in ten dimensional spacetime. In fact, Duff and his collaborators showed that this construction reproduces exactly the strings appearing in type IIA superstring theory. Initially, physicists were unable to prove this relationship for two important reasons. On the one hand, the Montonen–Olive duality was still unproven, and so Strominger's conjecture was even more tenuous. On the other hand, there were many technical issues related to the quantum properties of five dimensional branes. The first of these problems was solved in 1993 when Ashoke Sen established that certain physical theories require the existence of objects with both electric and magnetic charge which were predicted by the work of Montonen and Olive. In spite of this progress, the relationship between strings and five dimensional branes remained conjectural because theorists were unable to quantize the branes. Starting in 1991, a team of researchers including Michael Duff, Ramzi Khuri, Jianxin Lu, and Ruben Minasian considered a special compactification of string theory in which four of the ten dimensions curl up. If one considers a five dimensional brane wrapped around these extra dimensions, then the brane looks just like a one dimensional string. In this way, the conjectured relationship between strings and branes was reduced to a relationship between strings and strings, and the latter could be tested using already established theoretical techniques. In the months following Witten's announcement, hundreds of new papers appeared on the Internet confirming that the new theory involved membranes in an important way. Today this flurry of work is known as the second superstring revolution. One of the important developments following Witten's announcement was Witten's work in 1996 with string theorist Petr Hořava. Witten and Hořava studied M theory on a special spacetime geometry with two ten dimensional boundary components. Their work shed light on the mathematical structure of M theory and suggested possible ways of connecting M theory to real world physics.

Происхождение термина

Первоначально некоторые физики предположили, что новая теория является фундаментальной теорией мембран, но Виттен скептически относился к роли мембран в этой теории. В статье 1996 года Хорава и Виттен написали:

"Поскольку было предложено, что одиннадцатимерная теория является теорией супермембран, но есть основания сомневаться в этой интерпретации, мы условно назовём её теорией М, оставив вопрос о связи М с мембранами будущим исследованиям."

Матричная модель BFSS

В математике матрица — это прямоугольный массив чисел или других данных. В физике матричная модель — это особый вид физической теории, математическая формулировка которой важным образом включает понятие матрицы. Матричная модель описывает поведение набора матриц в рамках квантовой механики. Важным примером матричной модели является матричная модель BFSS, предложенная Томом Бэнксом, Вилли Фишлером, Стивеном Шенкером и Леонардом Сускиндом в 1997 году. Эта теория описывает поведение набора из девяти больших матриц. В своей первоначальной статье авторы показали, в частности, что низкоэнергетический предел этой матричной модели описывается одиннадцатимерной супергравитацией. Эти вычисления привели их к выводу, что матричная модель BFSS точно эквивалентна теории M. Таким образом, матричную модель BFSS можно использовать в качестве прототипа для корректной формулировки теории M и инструмента для изучения свойств теории M в относительно простой постановке. Некоммутативная геометрия — это раздел математики, который пытается обобщить эту ситуацию. Вместо работы с обычными числами рассматриваются некоторые подобные объекты, такие как матрицы, умножение которых не удовлетворяет коммутативному закону (то есть объекты, для которых xy не обязательно равно yx). Можно представить, что эти некоммутирующие объекты являются координатами в некотором более общем понимании "пространства" и доказывать теоремы об этих обобщенных пространствах, используя аналогию с обычной геометрией. В статье 1998 года Ален Коннс, Майкл Дуглас и Альберт Шварц показали, что некоторые аспекты матричных моделей и теории M описываются некомутативной квантовой теорией поля — особым видом физической теории, в которой координаты в пространстве-времени не удовлетворяют свойству коммутативности.

Обзор

Применение квантовой механики к физическим объектам, таким как электромагнитное поле, которые простираются в пространстве и времени, известно как квантовая теория поля. В физике частиц квантовые теории поля составляют основу нашего понимания элементарных частиц, которые моделируются как возбуждения в фундаментальных полях. Квантовые теории поля также широко используются в физике конденсированного состояния для моделирования объектов, подобных частицам, называемым квазичастицами. Один из подходов к формулированию M-теории и изучению её свойств обеспечивается соответствием анти-де-Ситтера/конформной теории поля (AdS/CFT). Предложенное Хуаном Малдасеной в конце 1997 года соответствие AdS/CFT является теоретическим результатом, который подразумевает, что M-теория в некоторых случаях эквивалентна квантовой теории поля. В рамках соответствия AdS/CFT геометрия пространства-времени описывается в терминах определённого вакуумного решения уравнения Эйнштейна, называемого пространством анти-де-Ситтера. В самых элементарных терминах, пространство анти-де-Ситтера — это математическая модель пространства-времени, в которой понятие расстояния между точками (метрика) отличается от понятия расстояния в обычной евклидовой геометрии. Оно тесно связано с гиперболическим пространством, которое можно представить в виде диска, как показано слева. На этом изображении показана мозаика диска треугольниками и квадратами. Можно определить расстояние между точками этого диска таким образом, чтобы все треугольники и квадраты были одинакового размера, а круговая внешняя граница находилась на бесконечном расстоянии от любой точки внутри. Теперь представьте себе стопку гиперболических дисков, где каждый диск представляет состояние Вселенной в данный момент времени. Полученный геометрический объект является трёхмерным пространством анти-де-Ситтера. Следовательно, можно рассмотреть вспомогательную теорию, в которой «пространство-время» задаётся границей пространства анти-де-Ситтера. Это наблюдение является отправной точкой для соответствия AdS/CFT, которое утверждает, что границу пространства анти-де-Ситтера можно рассматривать как «пространство-время» для квантовой теории поля. Утверждается, что эта квантовая теория поля эквивалентна гравитационной теории на объёмном пространстве анти-де-Ситтера в том смысле, что существует «словарь» для перевода сущностей и вычислений из одной теории в их аналоги в другой теории. Например, одна частица в гравитационной теории может соответствовать некоторому набору частиц в граничной теории. Кроме того, предсказания в обеих теориях количественно идентичны, так что если две частицы имеют 40-процентную вероятность столкновения в гравитационной теории, то соответствующий набор частиц в граничной теории также будет иметь 40-процентную вероятность столкновения.

The application of quantum mechanics to physical objects such as the electromagnetic field, which are extended in space and time, is known as quantum field theory. In particle physics, quantum field theories form the basis for our understanding of elementary particles, which are modeled as excitations in the fundamental fields. Quantum field theories are also used throughout condensed matter physics to model particle like objects called quasiparticles. One approach to formulating M theory and studying its properties is provided by the anti de Sitter/conformal field theory (AdS/CFT) correspondence. Proposed by Juan Maldacena in late 1997, the AdS/CFT correspondence is a theoretical result which implies that M theory is in some cases equivalent to a quantum field theory. In the AdS/CFT correspondence, the geometry of spacetime is described in terms of a certain vacuum solution of Einstein's equation called anti de Sitter space. In very elementary terms, anti de Sitter space is a mathematical model of spacetime in which the notion of distance between points (the metric) is different from the notion of distance in ordinary Euclidean geometry. It is closely related to hyperbolic space, which can be viewed as a disk as illustrated on the left. This image shows a tessellation of a disk by triangles and squares. One can define the distance between points of this disk in such a way that all the triangles and squares are the same size and the circular outer boundary is infinitely far from any point in the interior. Now imagine a stack of hyperbolic disks where each disk represents the state of the universe at a given time. The resulting geometric object is three dimensional anti de Sitter space. One can therefore consider an auxiliary theory in which "spacetime" is given by the boundary of anti de Sitter space. This observation is the starting point for AdS/CFT correspondence, which states that the boundary of anti de Sitter space can be regarded as the "spacetime" for a quantum field theory. The claim is that this quantum field theory is equivalent to the gravitational theory on the bulk anti de Sitter space in the sense that there is a "dictionary" for translating entities and calculations in one theory into their counterparts in the other theory. For example, a single particle in the gravitational theory might correspond to some collection of particles in the boundary theory. In addition, the predictions in the two theories are quantitatively identical so that if two particles have a 40 percent chance of colliding in the gravitational theory, then the corresponding collections in the boundary theory would also have a 40 percent chance of colliding.

6D (2,0) суперконформная теория поля

Одно из конкретных воплощений соответствия AdS/CFT утверждает, что M-теория на произведенном пространстве AdS7×S^(4) эквивалентна так называемой (2,0)-теории на шестимерной границе. Здесь "(2,0)" относится к специфическому типу суперсимметрии, присутствующему в теории. В этом примере пространство-время гравитационной теории эффективно семимерно (отсюда обозначение AdS7), и существует четыре дополнительных "компактных" измерения (закодированных фактором n-сферы). В реальном мире пространство-время, по крайней мере макроскопически, четырехмерно, поэтому эта версия соответствия не предоставляет реалистичную модель гравитации. Аналогично, двойственная теория не является жизнеспособной моделью какой-либо реальной системы, поскольку она описывает мир с шестью пространственно-временными измерениями. Тем не менее, (2,0)-теория оказалась важной для изучения общих свойств квантовых теорий поля. Фактически, эта теория охватывает множество математически интересных эффективных квантовых теорий поля и указывает на новые дуальности, связывающие эти теории. Например, Луис Алдай, Давиде Гайотто и Юдзи Тачикава показали, что при компактификации этой теории на поверхности получается четырехмерная квантовая теория поля, и существует дуальность, известная как соответствие AGT, которая связывает физику этой теории с определенными физическими концепциями, связанными с самой поверхностью. В последнее время теоретики расширили эти идеи для изучения теорий, полученных путем компактификации до трех измерений. Помимо применения в квантовой теории поля, (2,0)-теория привела к важным результатам в чистой математике. Например, существование (2,0)-теории было использовано Виттеном для предоставления "физического" объяснения предполагаемого соотношения в математике, называемого геометрическим соответствием Лэнгленда. В последующих работах Виттен показал, что (2,0)-теорию можно использовать для понимания концепции в математике, называемой гомологией Хованова. Гомология Хованова, разработанная Михаилом Ховановым около 2000 года, является инструментом в теории узлов – области математики, которая изучает и классифицирует различные формы узлов. Другое применение (2,0)-теории в математике – это работа Давиде Гайотто, Грега Мура и Эндрю Найцке, которые использовали физические идеи для получения новых результатов в гиперкэлеровой геометрии.

One particular realization of the AdS/CFT correspondence states that M theory on the product space AdS7×S^(4) is equivalent to the so called (2,0) theory on the six dimensional boundary. Here "(2,0)" refers to the particular type of supersymmetry that appears in the theory. In this example, the spacetime of the gravitational theory is effectively seven dimensional (hence the notation AdS7), and there are four additional "compact" dimensions (encoded by the [[n sphere factor). In the real world, spacetime is four dimensional, at least macroscopically, so this version of the correspondence does not provide a realistic model of gravity. Likewise, the dual theory is not a viable model of any real world system since it describes a world with six spacetime dimensions. Nevertheless, the (2,0) theory has proven to be important for studying the general properties of quantum field theories. Indeed, this theory subsumes many mathematically interesting effective quantum field theories and points to new dualities relating these theories. For example, Luis Alday, Davide Gaiotto, and Yuji Tachikawa showed that by compactifying this theory on a surface, one obtains a four dimensional quantum field theory, and there is a duality known as the AGT correspondence which relates the physics of this theory to certain physical concepts associated with the surface itself. More recently, theorists have extended these ideas to study the theories obtained by compactifying down to three dimensions. In addition to its applications in quantum field theory, the (2,0) theory has spawned important results in pure mathematics. For example, the existence of the (2,0) theory was used by Witten to give a "physical" explanation for a conjectural relationship in mathematics called the geometric Langlands correspondence. In subsequent work, Witten showed that the (2,0) theory could be used to understand a concept in mathematics called Khovanov homology. Developed by Mikhail Khovanov around 2000, Khovanov homology provides a tool in knot theory, the branch of mathematics that studies and classifies the different shapes of knots. Another application of the (2,0) theory in mathematics is the work of Davide Gaiotto, Greg Moore, and Andrew Neitzke, which used physical ideas to derive new results in hyperkähler geometry.

ABJM суперконформная теория поля

Другая реализация соответствия AdS/CFT утверждает, что M-теория на AdS4×S^(7) эквивалентна квантовой теории поля, называемой теорией ABJM, в трех измерениях. В этой версии соответствия семь измерений M-теории свернуты, оставляя четыре некомпактных измерения. Поскольку пространство-время нашей Вселенной четырехмерно, эта версия соответствия предоставляет несколько более реалистичное описание гравитации. Теория ABJM, возникающая в этой версии соответствия, также интересна по ряду причин. Представленная Ахаронией, Бергманом, Джафферисом и Малдасеной, она тесно связана с другой квантовой теорией поля, называемой теорией Черна — Саймонса. Последняя теория была популяризирована Виттеном в конце 1980-х годов благодаря ее применению к теории узлов. Кроме того, теория ABJM служит полуреалистичной упрощенной моделью для решения задач, возникающих в физике конденсированного состояния. Обычно такие модели основаны на идее компактификации. Начиная с десяти- или одиннадцатимерного пространства-времени струнной или M-теории, физики постулируют форму для дополнительных измерений. Правильно выбирая эту форму, они могут построить модели, приблизительно похожие на Стандартную модель физики частиц, вместе с дополнительными, пока неизвестными частицами, обычно суперсимметричными партнерами аналогов известных частиц. Один из популярных способов получения реалистичной физики из теории струн — начать с гетеротической теории в десяти измерениях и предположить, что шесть дополнительных измерений пространства-времени имеют форму шестимерного многообразия Калаби — Яу. Это особый вид геометрического объекта, названный в честь математиков Эухенио Калаби и Шин Тунг Яу. Многообразия Калаби — Яу предлагают множество способов извлечения реалистичной физики из теории струн. Другие подобные методы могут быть использованы для построения моделей с физикой, в некоторой степени напоминающей физику нашего четырехмерного мира, основанных на M-теории. Отчасти из-за теоретических и математических трудностей и отчасти из-за чрезвычайно высоких энергий (превышающих технологически достижимые в обозримом будущем), необходимых для экспериментальной проверки этих теорий, пока не существует экспериментальных доказательств, однозначно указывающих на то, что какая-либо из этих моделей является правильным фундаментальным описанием природы. Это привело к тому, что некоторые представители научного сообщества критикуют эти подходы к объединению и ставят под сомнение ценность дальнейших исследований этих проблем.

Another realization of the AdS/CFT correspondence states that M theory on AdS4×S^(7) is equivalent to a quantum field theory called the ABJM theory in three dimensions. In this version of the correspondence, seven of the dimensions of M theory are curled up, leaving four non compact dimensions. Since the spacetime of our universe is four dimensional, this version of the correspondence provides a somewhat more realistic description of gravity. The ABJM theory appearing in this version of the correspondence is also interesting for a variety of reasons. Introduced by Aharony, Bergman, Jafferis, and Maldacena, it is closely related to another quantum field theory called Chern–Simons theory. The latter theory was popularized by Witten in the late 1980s because of its applications to knot theory. In addition, the ABJM theory serves as a semi realistic simplified model for solving problems that arise in condensed matter physics. Typically, such models are based on the idea of compactification. Starting with the ten or eleven dimensional spacetime of string or M theory, physicists postulate a shape for the extra dimensions. By choosing this shape appropriately, they can construct models roughly similar to the standard model of particle physics, together with additional undiscovered particles, usually supersymmetric partners to analogues of known particles. One popular way of deriving realistic physics from string theory is to start with the heterotic theory in ten dimensions and assume that the six extra dimensions of spacetime are shaped like a six dimensional Calabi–Yau manifold. This is a special kind of geometric object named after mathematicians Eugenio Calabi and Shing Tung Yau. Calabi–Yau manifolds offer many ways of extracting realistic physics from string theory. Other similar methods can be used to construct models with physics resembling to some extent that of our four dimensional world based on M theory. Partly because of theoretical and mathematical difficulties and partly because of the extremely high energies (beyond what is technologically possible for the foreseeable future) needed to test these theories experimentally, there is so far no experimental evidence that would unambiguously point to any of these models being a correct fundamental description of nature. This has led some in the community to criticize these approaches to unification and question the value of continued research on these problems.

Компактификация на коллекторах

В одном из подходов к феноменологии М-теории теоретики предполагают, что семь дополнительных измерений М-теории имеют форму многообразия G2. Это особый вид семимерной фигуры, сконструированной математиком Домиником Джойсом из Оксфордского университета. Эти многообразия G2 до сих пор недостаточно изучены математически, и это затрудняет физикам полное развитие данного подхода к феноменологии. Например, физики и математики часто исходят из предположения, что пространство обладает математическим свойством, называемым гладкостью, однако это свойство нельзя принимать в случае многообразия G2, если требуется восстановить физику нашего четырехмерного мира. Другая проблема заключается в том, что многообразия G2 не являются комплексными многообразиями, что лишает теоретиков возможности использовать инструменты из области математики, известной как комплексный анализ. Наконец, существует множество нерешенных вопросов относительно существования, единственности и других математических свойств многообразий G2, а у математиков отсутствует систематический метод для их поиска.

Гетеротическая М-теория

Из-за трудностей, связанных с многообразиями G2, большинство попыток построить реалистичные физические теории на основе M-теории используют более косвенный подход к компактификации одиннадцатимерного пространства-времени. Один из таких подходов, разработанный Виттеном, Хорава, Бертом Оврутом и другими, известен как гетеротическая M-теория. В рамках этого подхода предполагается, что одно из одиннадцати измерений M-теории имеет форму окружности. Если радиус этой окружности очень мал, то пространство-время становится эффективно десятимерным. Затем исходят из того, что шесть из этих десяти измерений образуют многообразие Калаби-Яу. Если и это многообразие Калаби-Яу также достаточно мало, то остается теория в четырех измерениях. Гетеротическая M-теория использовалась для построения моделей бранной космологии, в которых считается, что наблюдаемая Вселенная существует на бране в более высокомерном окружающем пространстве. Она также привела к появлению альтернативных теорий ранней Вселенной, не основанных на теории космической инфляции.