Введение

В математике, «штаны» — это поверхность, гомеоморфная сфере с тремя отверстиями. Название происходит от того, что один из удалённых дисков можно представить как пояс, а два других — как штанины. «Штаны» используются как строительные блоки для компактных поверхностей в различных теориях. Два важных применения — гиперболическая геометрия, где разложения замкнутых поверхностей на «штаны» используются для построения координат Фенхеля — Нильсена в пространстве Тейхмюллера, и топологическая квантовая теория поля, где они являются простейшими нетривиальными кобордизмами между одномерными многообразиями.

Шорты как топологические поверхности

Пара брюк — это любая поверхность, гомеоморфная сфере с тремя отверстиями, которая формально определяется как результат удаления из сферы трех непересекающихся открытых дисков. Таким образом, пара брюк — это компактная поверхность рода нуль с тремя границами. Эйлерова характеристика пары брюк равна −1, и единственная другая поверхность, обладающая этим свойством, — это проколотый тор (тор с удаленным открытым диском).

Разложение штанов

Важность штанов в изучении поверхностей проистекает из следующего свойства: определим сложность связной компактной поверхности рода *g* с *b* граничными компонентами как 2*g* + *b* - 2, а для несвязной поверхности примем сумму сложностей всех компонент. Тогда единственными поверхностями с отрицательной характеристикой Эйлера и нулевой сложностью являются непересекающиеся объединения штанов. Более того, для любой поверхности *S* и любой простой замкнутой кривой *γ* на *S*, не гомотопной граничному компоненту, компактная поверхность, полученная разрезанием *S* вдоль *γ*, имеет сложность, строго меньшую, чем сложность *S*. В этом смысле штаны – единственные "неприводимые" поверхности среди всех поверхностей с отрицательной характеристикой Эйлера. По индуктивному аргументу это означает, что для любой поверхности существует система простых замкнутых кривых, разрезающих поверхность на штаны. Это называется разложением на штаны для поверхности, а кривые называются поясами (или обшлагами) разложения. Это разложение не единственно, но, количественно оценивая аргумент, можно увидеть, что все разложения на штаны данной поверхности имеют одинаковое количество кривых, которое равно сложности поверхности. Для связных поверхностей разложение на штаны содержит ровно 3*g* - 1 штанов. Коллекция простых замкнутых кривых на поверхности является разложением на штаны тогда и только тогда, когда они попарно не пересекаются, никакие две из них не гомотопны, и ни одна из них не гомотопна граничному компоненту, а также коллекция максимальна по этим свойствам.

Модульное пространство гиперболических штанов

Интересные гиперболические структуры на штанах легко классифицируются. Для любого существует гиперболическая поверхность, гомеоморфная паре штанов, чьи граничные компоненты являются простыми замкнутыми геодезическими длины, равной . Такая поверхность определяется однозначно с точностью до изометрии. Принимая длину пояса равной нулю, получаем полную метрику на паре штанов без пояса, который заменяется на куспид. Эта структура имеет конечный объем.

Шорты и шестиугольники

Геометрическое доказательство классификации, представленное в предыдущем абзаце, важно для понимания структуры гиперболических "брюк". Оно строится следующим образом: для любой гиперболической пары "брюк" с полностью геодезической границей существуют три уникальные геодезические дуги, соединяющие манжеты попарно и перпендикулярные им в конечных точках. Эти дуги называются швами "брюк". Разрезая "брюки" вдоль швов, получаем два прямоугольных гиперболических шестиугольника, имеющих три чередующиеся стороны равной длины. Следующая лемма может быть доказана с использованием элементарной гиперболической геометрии. Если два прямоугольных гиперболических шестиугольника имеют три чередующиеся стороны равной длины, то они изометричны друг другу. Таким образом, мы видим, что пара "брюк" является двойственным отображением прямоугольного шестиугольника по чередующимся сторонам. Поскольку класс изометрии шестиугольника также однозначно определяется длинами оставшихся трех чередующихся сторон, классификация "брюк" вытекает из классификации шестиугольников. Если длина одной манжеты равна нулю, соответствующая сторона в прямоугольном шестиугольнике заменяется идеальной вершиной.

Координаты Фенхеля-Нильсена

Точка в пространстве Тейхмюллера поверхности представляется парой (X, f), где X – полная гиперболическая поверхность, а f – диффеоморфизм. Если поверхность X имеет разложение на «штаны» по кривым γ₁, …, γₙ, то пары Тейхмюллера можно параметризовать координатами Фенхеля — Нильсена, которые определяются следующим образом. Длины «манжет» lᵢ – это просто длины замкнутых геодезических, гомотопичных γᵢ. Параметры скручивания τᵢ сложнее определить. Они соответствуют величине поворота при склеивании двух пар «штанов» вдоль γᵢ: это определяет их с точностью до 2π. Определение можно уточнить (используя аналитическое продолжение или геометрические методы) для получения параметров скручивания, принимающих значения в ℝ (грубо говоря, суть в том, что при полном повороте точка в пространстве Тейхмюллера меняется в результате предкомпозиции f с деном скручивания вокруг γᵢ).

Комплекс штанов и метрика Вейла-Питерсона

Можно определить отображение из комплекса штанов в пространство Тейхмюллера, которое сопоставляет расщепление штанов произвольно выбранной точке в области, где величина, соответствующая "манжетам" в координатах Фенчеля — Нильсена, ограничена достаточно большой константой. Это квазиизометрия, если пространство Тейхмюллера снабжено метрикой Вейля — Петерсона, что оказалось полезным при изучении этой метрики.

Пара брюк и группы Шоттки

Эти структуры соответствуют группам Шотки, заданным двумя образующими (точнее, если факторпространство гиперболической плоскости по группе Шотки, заданной двумя образующими, гомеоморфно внутренней области пары брюк, то её выпуклое ядро является гиперболической парой брюк, как описано выше, и все они получаются таким образом).

Двумерные кобордизмы

Кобордизм между двумя n-мерными замкнутыми многообразиями — это компактное (n+1)-мерное многообразие, границей которого является непересекающееся объединение этих двух многообразий. Категория кобордизмов размерности n+1 — это категория, объекты которой — замкнутые многообразия размерности n, а морфизмы — кобордизмы между ними (обратите внимание, что определение кобордизма включает отождествление границы с многообразиями). Следует отметить, что одно из многообразий может быть пустым; в частности, замкнутое многообразие размерности n+1 рассматривается как эндоморфизм пустого множества. Два кобордизма можно композировать, если конец первого равен началу второго. n-мерная топологическая квантовая теория поля (TQFT) — это моноидальный функтор из категории n-кобордизмов в категорию комплексных векторных пространств (где умножение задается тензорным произведением). В частности, кобордизмы между одномерными многообразиями (которые являются объединениями окружностей) — это компактные поверхности, граница которых разделена на два непересекающихся объединения окружностей. Двумерные TQFT соответствуют алгебрам Фробениуса, где окружность (единственное связное замкнутое 1-многообразие) отображается в базовое векторное пространство алгебры, а штаны дают произведение или копроизведение, в зависимости от группировки граничных компонент, что определяет коммутативность или кокоммутативность. Кроме того, отображение, связанное с диском, дает коединицу (след) или единицу (скаляры), в зависимости от группировки границы, что завершает соответствие.