Введение

В математике классифицирующее пространство для унитарной группы U(n) — это пространство BU(n) вместе с универсальным расслоением EU(n), такое что любое эрмитово расслоение на паракомпактном пространстве X является обратным образом EU(n) по отображению X → BU(n), однозначно определенному с точностью до гомотопии. Это пространство с его универсальной фибрацией может быть построено либо как грассманиан n-мерных плоскостей в бесконечномерном комплексном гильбертовом пространстве, либо как прямой предел грассманианов n-мерных плоскостей с индуцированной топологией. Обе конструкции подробно описаны здесь.

Конструкция как индуктивный предел

Пусть Fn(Ck) — пространство ортонормальных семейств из n векторов в Ck, а Gn(Ck) — грассманиан n-мерных подпространств в Ck. Общее пространство универсального расслоения можно рассматривать как прямую индуктивную границу пространств Fn(Ck) при k стремящемся к бесконечности, а базовое пространство — как прямую индуктивную границу пространств Gn(Ck) при k стремящемся к бесконечности.

Действительность конструкции

В этом разделе мы определим топологию на EU(n) и докажем, что EU(n) действительно является стягиваемым. Группа U(n) действует свободно на Fn(Ck), а факторпространство является грассманианом Gn(Ck). Отображение

является расслоением с волокном Fn−1(Ck−1). Таким образом, поскольку тривиально и в силу длинной точной последовательности фибрации, мы имеем

при условии, что, выбирая k достаточно большим, а именно для , мы можем повторить процесс и получить

Эта последняя группа тривиальна при k > n + p. Пусть

будет прямым пределом всех Fn(Ck) (с индуцированной топологией). Пусть

будет прямым пределом всех Gn(Ck) (с индуцированной топологией). Лемма: Группа тривиальна для всех p ≥ 1. Доказательство: Пусть γ : Sp → EU(n). Поскольку Sp компактно, существует k такое, что γ(Sp) содержится в Fn(Ck). Выбирая k достаточно большим, мы видим, что γ гомотопно относительно базовой точки постоянному отображению. Кроме того, U(n) действует свободно на EU(n). Пространства Fn(Ck) и Gn(Ck) являются CW-комплексами. Можно найти разложение этих пространств на CW-комплексы, такое что разложение Fn(Ck) и, соответственно, Gn(Ck) индуцируется ограничением разложения для Fn(Ck+1) и, соответственно, Gn(Ck+1). Таким образом, EU(n) (и также Gn(C∞)) является CW-комплексом. По теореме Уайтхеда и вышеуказанной лемме, EU(n) является стягиваемым.

Бесконечное классификационное пространство

Канонические включения индуцируют канонические включения в соответствующих классифицирующих пространствах. Их соответствующие колимиты обозначаются как: действительно является классифицирующим пространством .