Введение

Теорема в топологии

В математике теорема Борсука — Улама утверждает, что любая непрерывная функция от n-сферы в n-мерное евклидово пространство отображает некоторую пару антиподальных точек в одну и ту же точку. Здесь две точки на сфере называются антиподальными, если они расположены в точно противоположных направлениях от центра сферы. Формально: если f непрерывна, то существует x такой, что: f(x) = f(-x).
Случай n=1 можно проиллюстрировать, сказав, что всегда существует пара противоположных точек на экваторе Земли с одинаковой температурой. То же самое верно для любой окружности. Это предполагает, что температура непрерывно меняется в пространстве, что, однако, не всегда так. Этот случай часто иллюстрируется тем, что в любой момент времени всегда существует пара антиподальных точек на поверхности Земли с одинаковой температурой и одинаковым барометрическим давлением, при условии, что оба параметра непрерывно меняются в пространстве. Теорема Борсука — Улама имеет несколько эквивалентных формулировок с точки зрения нечётных функций. Вспомним, что Sⁿ — это n-сфера, а Bⁿ — это n-шар:
Если f — непрерывная нечётная функция, то существует x такой, что: f(x) = 0.
Если f — непрерывная функция, которая нечётна на ∂Bⁿ (границе Bⁿ), то существует x такой, что: f(x) = 0.

История

Согласно , первое историческое упоминание теоремы Борсука — Улама встречается в . Первое доказательство было дано в , где формулировка задачи была приписана Станиславу Уламу. С тех пор различные авторы нашли множество альтернативных доказательств, собранных в .

Эквивалентные заявления

Следующие утверждения эквивалентны теореме Борсука — Улама.

С нечетными функциями

Функция называется нечетной (также известной как антиподальной или сохраняющей антиподы), если для каждого x: f(-x) = -f(x). Теорема Борсука–Улама эквивалентна следующему утверждению: непрерывная нечетная функция из n-сферы в евклидово n-мерное пространство имеет ноль. Доказательство: Если теорема верна, то она, в частности, верна для нечетных функций, и для нечетной функции f(x) = -f(-x) эквивалентно f(0) = 0. Следовательно, каждая нечетная непрерывная функция имеет ноль. Для каждой непрерывной функции f, следующая функция является непрерывной и нечетной: g(x) = f(x) - f(-x). Если каждая нечетная непрерывная функция имеет ноль, то g(x) имеет ноль, и, следовательно, f(x) имеет ноль. Таким образом, теорема верна.

С втяжкой

Определите ретракцию как функцию. Теорема Борсука — Улама эквивалентна следующему утверждению: не существует непрерывной нечётной ретракции. Доказательство: Если теорема верна, то любая непрерывная нечётная функция из должна включать 0 в свою область значений. Однако, , поэтому не может существовать непрерывной нечётной функции, область значений которой является . Обратно, если теорема неверна, то существует непрерывная нечётная функция без нулей. Тогда мы можем построить другую нечётную функцию по формуле:

поскольку не имеет нулей, определена и непрерывна. Таким образом, мы получаем непрерывную нечётную ретракцию.

Одномерный корпус

Одномерный случай может быть легко доказан с помощью теоремы о промежуточных значениях (IVT). Пусть f — нечетная, вещественнозначная, непрерывная функция на окружности, заданная выбором произвольного x. Если f(x) = 0, то мы закончили. В противном случае, без потери общности, f(x) ≠ 0. Но f(-x) = -f(x) ≠ 0. Следовательно, по теореме о промежуточных значениях (IVT), существует точка y между x и -x, в которой f(y) = 0.

Алгебраическое топологическое доказательство

Предположим, что является нечетной непрерывной функцией с (случай рассматривается выше, случай можно обработать, используя базовую теорию накрытий). Переходя к орбитам под действием антиподального отображения, мы получаем индуцированную непрерывную функцию между вещественными проективными пространствами, которая индуцирует изоморфизм на фундаментальных группах. По теореме Гуревича, индуцированный гомоморфизм колец на кохомологиях с коэффициентами [где обозначает поле из двух элементов],

отправляет в Но тогда получается, что отправляется в , что является противоречием. Можно также доказать более сильное утверждение, что любое нечетное отображение имеет нечетную степень, и затем вывести теорему из этого результата.

Комбинаторное доказательство

Теорема Борсука–Улама может быть доказана из леммы Таккера. Пусть g — непрерывная нечётная функция. Поскольку g непрерывна на компактном множестве, она равномерно непрерывна. Следовательно, для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любых двух точек x, y, расстояние между которыми не превышает δ, расстояние между g(x) и g(y) также не превышает ε. Определим триангуляцию множества K с рёбрами длиной не более δ. Обозначим каждую вершину v триангуляции меткой l(v) следующим образом:

Абсолютное значение метки равно индексу координаты с наибольшим абсолютным значением g(v): |l(v)| = argmaxᵢ |g(v)ᵢ|. Знак метки равен знаку g(v), так что l(v) = sign(g(v)).
Поскольку g нечётна, обозначение также нечётно: l(-v) = -l(v). Следовательно, по лемме Таккера, существуют две смежные вершины v и w с противоположными метками: l(v) = -l(w). Предположим, без ограничения общности, что l(v) = 1 и l(w) = -1. По определению l, это означает, что в обеих точках v и w координата #1 является координатой с наибольшим абсолютным значением: в точке v эта координата положительна, а в точке w — отрицательна. По построению триангуляции, расстояние между v и w не превышает δ, следовательно, в частности, |v₁ - w₁| ≤ δ (поскольку v₁ и w₁ имеют противоположные знаки). Но поскольку координата #1 является координатой с наибольшим абсолютным значением в обеих точках, то |vᵢ| ≤ |v₁| и |wᵢ| ≤ |w₁| для всех i. Таким образом, |vᵢ - wᵢ| ≤ |v₁| + |w₁| ≤ 2|v₁| для всех i. Следовательно, ||v - w|| ≤ 2|v₁|, где |v₁| — некоторая константа, зависящая от δ и выбранной нормы. Вышесказанное верно для каждого ε > 0; поскольку K компактно, существует точка u ∈ K, такая что ||v - w|| = 0.

Эквивалентные результаты

Выше мы показали, как доказать теорему Борсука — Улама из леммы Таккера. Обратное также верно: можно доказать лемму Таккера из теоремы Борсука — Улама. Следовательно, эти две теоремы эквивалентны.

Обобщения

В оригинальной теореме область определения функции f — это единичная n-сфера (граница единичного n-шара). В общем случае это также верно, когда область определения f является границей любого открытого ограниченного симметричного подмножества, содержащего начало координат (здесь под симметричностью понимается, что если x принадлежит подмножеству, то и -x также принадлежит подмножеству). Рассмотрим функцию A, которая отображает точку в её антиподальную точку: Обратите внимание, что исходная теорема утверждает, что существует точка x, для которой . В общем случае это также верно для любой функции A, для которой . Однако, в общем случае это не верно для других функций A.