Введение
Отображение, сохраняющее все топологические свойства данного пространства. Гомеоморфизмы в теории графов.
homeomorphisms in graph theory
В математике, и в частности в топологии, гомеоморфизм (от греческих корней, означающих «подобная форма», названный Анри Пуанкаре), также называемый топологическим изоморфизмом или бинепрерывной функцией, — это биективное и непрерывное отображение между топологическими пространствами, имеющее непрерывное обратное отображение. Гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств, то есть это отображения, сохраняющие все топологические свойства данного пространства. Два пространства, между которыми существует гомеоморфизм, называются гомеоморфными и, с топологической точки зрения, считаются одинаковыми. Очень грубо говоря, топологическое пространство — это геометрический объект, а гомеоморфизм возникает в результате непрерывной деформации объекта в новую форму. Таким образом, квадрат и круг гомеоморфны друг другу, но сфера и тор — нет. Однако такое описание может быть обманчивым. Некоторые непрерывные деформации не приводят к гомеоморфизмам, например, деформация прямой в точку. Некоторые гомеоморфизмы не являются результатом непрерывных деформаций, например, гомеоморфизм между узлом-трефойлом и окружностью. Гомотопия и изотопия — это точные определения для неформального понятия непрерывной деформации.
Примеры
Открытый интервал гомеоморфен множеству действительных чисел \R для любого a. (В этом случае двустороннее непрерывное отображение задается формулой , а другие такие отображения задаются масштабированными и сдвинутыми версиями функций tan или arg tanh). Диск единичного радиуса и единичный квадрат в \R^2 гомеоморфны, поскольку диск единичного радиуса можно деформировать в единичный квадрат. Примером бинепрерывного отображения из квадрата в диск является, в полярных координатах, . График дифференцируемой функции гомеоморфен области определения этой функции. Дифференцируемая параметризация кривой является гомеоморфизмом между областью определения параметризации и самой кривой. Атлас многообразия – это гомеоморфизм между открытым подмножеством многообразия и открытым подмножеством евклидова пространства. Стереографическая проекция является гомеоморфизмом между единичной сферой в \R^3 с удаленной одной точкой и множеством всех точек в \R^2 (двумерной плоскостью). Если G – топологическая группа, то ее отображение инверсии является гомеоморфизмом. Также, для любого g левый сдвиг, правый сдвиг и внутренний автоморфизм являются гомеоморфизмами.
The graph of a differentiable function is homeomorphic to the domain of the function. A differentiable parametrization of a curve is a homeomorphism between the domain of the parametrization and the curve. A chart of a manifold is a homeomorphism between an open subset of the manifold and an open subset of a Euclidean space. The stereographic projection is a homeomorphism between the unit sphere in \R^3 with a single point removed and the set of all points in \R^2 (a 2 dimensional plane). If is a topological group, its inversion map is a homeomorphism. Also, for any the left translation the right translation and the inner automorphism are homeomorphisms.
Контрпримеры
\R^m и \R^n не гомеоморфны при 1=m ≠ n. Евклидова действительная прямая не гомеоморфна единичной окружности как подпространству \R^2, поскольку единичная окружность компактна как подпространство евклидова \R^2, а действительная прямая – нет. Одномерные интервалы и не гомеоморфны, так как один компактен, а другой – нет.
The Euclidean real line is not homeomorphic to the unit circle as a subspace of \R^2, since the unit circle is compact as a subspace of Euclidean \R^2 but the real line is not compact. The one dimensional intervals and are not homeomorphic because one is compact while the other is not.
Свойства
Два гомеоморфных пространства обладают одинаковыми топологическими свойствами. Например, если одно из них компактно, то и другое тоже; если одно из них связно, то и другое тоже; если одно из них хаусдорфово, то и другое тоже; их группы гомотопий и гомологий совпадают. Однако следует отметить, что это не распространяется на свойства, определяемые с помощью метрики; существуют метрические пространства, которые гомеоморфны, хотя одно из них является полным, а другое – нет. Гомеоморфизм одновременно является открытым и замкнутым отображением, то есть он переводит открытые множества в открытые множества и замкнутые множества в замкнутые множества. Любой само-гомеоморфизм в можно расширить до само-гомеоморфизма всего диска (трюк Александра).
Неформальная дискуссия
Интуитивно понятный критерий растяжения, сгибания, разрезания и склеивания требует определенной практики для правильного применения — из вышеописанного может быть не сразу очевидно, например, что деформация отрезка прямой в точку недопустима. Поэтому важно понимать, что определяющим является именно формальное определение, приведенное выше. В этом случае, например, отрезок прямой содержит бесконечное количество точек и, следовательно, не может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с множеством, содержащим лишь конечное число точек, включая одну точку. Эта характеристика гомеоморфизма часто приводит к путанице с понятием гомотопии, которое фактически определяется как непрерывная деформация, но от одной функции к другой, а не от одного пространства к другому. В случае гомеоморфизма, представление о непрерывной деформации служит инструментом для отслеживания соответствия между точками пространства X и точками пространства Y — достаточно просто следить за ними при деформации X. В случае гомотопии непрерывная деформация от одного отображения к другому является ключевой, и она менее строгая, поскольку ни одно из участвующих отображений не обязано быть взаимно однозначным или сюръективным. Гомотопия приводит к отношению на пространствах: гомотопической эквивалентности. Существует название для типа деформации, используемой при визуализации гомеоморфизма. Это (за исключением случаев, когда требуется разрезание и склеивание) изотопия между тождественным отображением на X и гомеоморфизмом из X в Y.