Введение

Раздел математики
топология поточечной сходимости

Алгебраическая топология — это раздел математики, использующий инструменты абстрактной алгебры для изучения топологических пространств. Основная цель — найти алгебраические инварианты, которые классифицируют топологические пространства с точностью до гомеоморфизма, хотя обычно большинство классифицируются с точностью до гомотопической эквивалентности. Хотя алгебраическая топология в основном использует алгебру для изучения топологических задач, иногда также возможно использовать топологию для решения алгебраических задач. Например, алгебраическая топология позволяет удобно доказать, что любая подгруппа свободной группы снова является свободной группой.

Гомотопические группы

В математике гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств. Первая и простейшая гомотопическая группа — это фундаментальная группа, которая фиксирует информацию о петлях в пространстве. Интуитивно, гомотопические группы отражают информацию об основной форме или дырах топологического пространства.

Гомология

В алгебраической топологии и абстрактной алгебре гомология (частично от греческого ὁμός homos "одинаковый") — это определенная общая процедура, позволяющая связать последовательность абелевых групп или модулей с заданным математическим объектом, таким как топологическое пространство или группа.

Кохомология

В теории гомологии и алгебраической топологии кохомология — это общий термин для последовательности абелевых групп, определяемых из коцеплекса коцепей. То есть, кохомология определяется как абстрактное изучение коцепей, коциклов и кограниц. Кохомологию можно рассматривать как метод присвоения алгебраических инвариантов топологическому пространству, обладающему более изысканной алгебраической структурой, чем гомология. Кохомология возникает в результате алгебраической дуализации построения гомологии. Говоря менее абстрактно, коцепи в фундаментальном смысле должны присваивать "величины" цепочкам теории гомологии.

Манифолы

Многообразие — это топологическое пространство, которое в окрестности каждой точки подобно евклидову пространству. Примеры включают плоскость, сферу и тор, которые все можно представить в трех измерениях, а также бутылку Кляйна и вещественную проективную плоскость, которые нельзя вложить в трехмерное пространство, но можно вложить в четырехмерное. Как правило, результаты в алгебраической топологии сосредоточены на глобальных, недефференцируемых свойствах многообразий, например, на дуальности Пуанкаре.

Теория узлов

Теория узлов — это изучение математических узлов. Хотя она и вдохновлена узлами, встречающимися в повседневной жизни, например, в шнурках и веревках, математический узел отличается тем, что его концы соединены, и его нельзя развязать. В строгом математическом смысле, узел — это вложение окружности в трехмерное евклидово пространство. Два математических узла считаются эквивалентными, если один можно преобразовать в другой посредством деформации самого себя (известной как окружающая изотопия); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной нитью, которые не включают её разрезание или прохождение самой нити через себя.

Комплексы

Симплициальный комплекс — это топологическое пространство определенного типа, построенное путем "склеивания" точек, отрезков прямых, треугольников и их n-мерных аналогов (см. иллюстрацию). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициального множества, возникающим в современной теории симплициальной гомотопии. Чистым комбинаторным аналогом симплициального комплекса является абстрактный симплициальный комплекс. CW-комплекс — это тип топологического пространства, введенный Дж. Х. К. Уайтхедом для нужд теории гомотопии. Этот класс пространств шире и обладает некоторыми более удобными категориальными свойствами, чем симплициальные комплексы, но при этом сохраняет комбинаторную природу, позволяющую проводить вычисления (часто с использованием гораздо меньшего комплекса).

Метод алгебраических инвариантов

Более раннее название этой дисциплины — комбинаторная топология, подчеркивающее акцент на построении пространства X из более простых (современным стандартным инструментом для такого построения является CW-комплекс). В 1920-х и 1930-х годах все большее внимание уделялось изучению топологических пространств посредством установления соответствий между ними и алгебраическими группами, что привело к переименованию в алгебраическую топологию. Термин «комбинаторная топология» до сих пор иногда используется для обозначения алгоритмического подхода, основанного на разложении пространств. В алгебраическом подходе устанавливается соответствие между пространствами и группами, сохраняющее отношение гомеоморфизма (или, в более общем случае, гомотопии) пространств. Это позволяет переформулировать утверждения о топологических пространствах в виде утверждений о группах, обладающих более удобной структурой, что часто упрощает доказательство этих утверждений. Основными способами реализации этого являются фундаментальные группы, или, в более общем смысле, теория гомотопий, а также группы гомологий и когомологий. Фундаментальные группы предоставляют базовую информацию о структуре топологического пространства, но часто неабелевы и сложны в работе. Фундаментальная группа (конечного) симплициального комплекса имеет конечное представление. Группы гомологий и когомологий, напротив, абелевы и во многих важных случаях конечно порождены. Конечно порожденные абелевы группы полностью классифицированы и особенно удобны для работы.

Введение в теорию категорий

В общем, все конструкции алгебраической топологии являются функториальными; именно здесь возникли понятия категории, функтора и естественного преобразования. Фундаментальные группы, а также группы гомологий и когомологий являются не только инвариантами лежащего в основе топологического пространства, в том смысле, что два гомеоморфных топологических пространства имеют одинаковые соответствующие группы, но и соответствующие морфизмы также находятся в соответствии: непрерывное отображение пространств индуцирует групповой гомоморфизм на соответствующих группах, и эти гомоморфизмы могут быть использованы для доказательства несуществования (или, в более глубоком смысле, существования) отображений. Одним из первых математиков, работавших с различными типами когомологий, был Жорж де Рам. Можно использовать дифференциальную структуру гладких многообразий посредством когомологий де Рама или когомологий Чеха или когомологий пучков для исследования разрешимости дифференциальных уравнений, заданных на рассматриваемом многообразии. Де Рам показал, что все эти подходы взаимосвязаны и что для замкнутого ориентированного многообразия числа Бетти, полученные с помощью упрощенной гомологии, совпадают с числами Бетти, полученными с помощью когомологий де Рама. Это было расширено в 1950-х годах, когда Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод обобщили этот подход. Они определили гомологию и когомологию как функторы, снабженные естественными преобразованиями, подчиняющимися определенным аксиомам (например, слабая эквивалентность пространств переходит в изоморфизм групп гомологии), проверили, что все существующие (ко)гомологические теории удовлетворяют этим аксиомам, и затем доказали, что такая аксиоматизация однозначно характеризует теорию.