Введение
Метод в статистике В статистике дельта-метод - это метод выведения асимптотического распределения случайной переменной. Он применим, когда рассматриваемая случайная переменная может быть определена как дифференцируемая функция случайной переменной, которая асимптотически гауссова.
In statistics, the delta method is a method of deriving the asymptotic distribution of a random variable. It is applicable when the random variable being considered can be defined as a differentiable function of a random variable which is asymptotically Gaussian.
История
Метод дельты был получен из распространения ошибки, и идея была известна в начале 20-го века. Ее статистическое применение можно проследить еще в 1928 году Т. Л. Келли. Формальное описание метода было представлено Дж. Л. Дубом в 1935 году. Роберт Дорфман также описал версию этого в 1938 году.
Альтернативная форма
Метод дельты часто используется в форме, которая по существу идентична вышеуказанной, но без предположения, что Xn или B асимптотически нормальны. Часто единственный контекст - это то, что разница "небольшая". Результаты затем просто дают приближения к средним и ковариантам преобразованных величин. Например, формулы, представленные в Кляйн (1953, с. 258): где hr - r-й элемент h ((B) и Bi - i-й элемент B.
where hr is the rth element of h(B) and Bi is the ith element of B.
Метод дельта второго порядка
При 1=g′(θ) = 0 метод дельта не может применяться. Однако, если g′′(θ) существует и не равен нулю, можно применить метод дельты второго порядка. Метод дельты второго порядка также полезен для более точного приближения распределения , когда размер выборки мал. Например, при использовании стандартного нормального распределения, можно приблизить как взвешенную сумму стандартного нормального и чи-квадрат с степенью свободы 1.
The second order delta method is also useful in conducting a more accurate approximation of 's distribution when sample size is small. For example, when follows the standard normal distribution, can be approximated as the weighted sum of a standard normal and a chi square with degree of freedom of 1.
Непараметрический метод дельты
Версия метода дельты существует в непараметрической статистике. Пусть будет независимой и идентично распределенной случайной переменной с выборкой размера с эмпирической функцией распределения , и пусть будет функциональной. Если аддамард дифференцируется по отношению к метрике Чебишева, то где и , с обозначением эмпирической функции влияния для A непараметрического точечного асимптотического доверительного интервала для , следовательно, дается где обозначает квантил стандартной нормальной. См. Wasserman (2006) с. 19 и далее. для подробностей и примеров.
where and , with denoting the empirical influence function for A nonparametric pointwise asymptotic confidence interval for is therefore given by
where denotes the quantile of the standard normal. See Wasserman (2006) p. 19f. for details and examples.