Введение
В теории графов, картезианский продукт G □ H графов G и H - это график, такой, что: множество вершин G □ H - это картезианский продукт V ((G) × V ((H); и две вершины (u, v) и (u' , v' ) соседствуют в G □ H, если и только если либо 1 = u = u' и v соседствуют с v' в H, или 1 = v = v' и u соседствуют с u' в G. Картезианский продукт графов иногда называют коробным продуктом графов [Harary 1969]. Операция ассоциативна, поскольку графики (F □ G) □ H и F □ (G □ H) естественно изоморфны. Операция коммутативна как операция на классах изоморфизма графов, и более сильно графы G □ H и H □ G естественно изоморфны, но она не коммутативна как операция на обозначенных графах. Обозначение G × H часто использовалось для картографических произведений графов, но теперь более часто используется для другой конструкции, известной как тензорное произведение графов. Квадратный символ предназначен для интуитивного и однозначного обозначения картезианского произведения, поскольку он визуально показывает четыре края, получаемые из картезианского произведения двух краев.
In graph theory, the Cartesian product G □ H of graphs G and H is a graph such that:
the vertex set of G □ H is the Cartesian product V(G) × V(H); and
two vertices (u,v) and (u' ,v' ) are adjacent in G □ H if and only if either
1=u = u' and v is adjacent to v' in H, or
1=v = v' and u is adjacent to u' in G.
The Cartesian product of graphs is sometimes called the box product of graphs [Harary 1969]. The operation is associative, as the graphs (F □ G) □ H and F □ (G □ H) are naturally isomorphic. The operation is commutative as an operation on isomorphism classes of graphs, and more strongly the graphs G □ H and H □ G are naturally isomorphic, but it is not commutative as an operation on labeled graphs. The notation G × H has often been used for Cartesian products of graphs, but is now more commonly used for another construction known as the tensor product of graphs. The square symbol is intended to be an intuitive and unambiguous notation for the Cartesian product, since it shows visually the four edges resulting from the Cartesian product of two edges.
Теория категорий
Рассматривая график как категорию, объектами которой являются вершины и морфизмами которой являются пути в графике, картезианское произведение графиков соответствует смешному тензорному произведению категорий. Картезианский произведение графов - одно из двух произведений графов, которые превращают категорию графов и графовых гомоморфизмов в симметричную закрытую моноидальную категорию (в отличие от просто симметричной моноидальной), другой - тензорный произведение графов. Внутренний гомоф для картезианского произведения графов имеет гомоморфизмы графов от и до в качестве вершин и "неестественные преобразования" между ними в качестве краев.
История
Согласно , картезианские произведения графов были определены в 1912 году Уайтхедом и Расселом. Позже они неоднократно были вновь открыты, в частности, .