Трёхшестиугольная мозаика: от геометрии до физики и древнего искусства
Trihexagonal tiling
Геометрическая мозаика: тригексагональная облицовка плоскости правильными шестиугольниками и треугольниками. Описание, свойства и двойственная мозаика.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Плитка плоскости правильными шестиугольниками и равносторонними треугольниками
Tiling of a plane by regular hexagons and equilateral triangles
В геометрии, тригексагональная плитка является одной из 11 однородных плиток евклидовой плоскости правильными многоугольниками. Она состоит из равносторонних треугольников и правильных шестиугольников, расположенных таким образом, что каждый шестиугольник окружен треугольниками и наоборот. Название происходит от того, что она сочетает в себе правильную шестиугольную плитку и правильную треугольную плитку. Два шестиугольника и два треугольника чередуются вокруг каждой вершины, а её рёбра образуют бесконечную сеть линий. Двойственная ей плитка – ромбильная плитка. Этот узор и его место в классификации однородных плиток были уже известны Иоганну Кеплеру в его книге «Harmonices Mundi» 1619 года. Этот узор давно используется в японском плетении из лозы, где он называется кагоме. Японский термин для этого узора был принят в физике, где он называется решёткой кагоме. Он также встречается в кристаллической структуре некоторых минералов. Конвей называет её гексадельтилью, объединяя чередующиеся элементы из шестиугольной плитки (гексадельтиль) и треугольной плитки (дельтиль).
In geometry, the trihexagonal tiling is one of 11 uniform tilings of the Euclidean plane by regular polygons. It consists of equilateral triangles and regular hexagons, arranged so that each hexagon is surrounded by triangles and vice versa. The name derives from the fact that it combines a regular hexagonal tiling and a regular triangular tiling. Two hexagons and two triangles alternate around each vertex, and its edges form an infinite arrangement of lines. Its dual is the rhombille tiling. This pattern, and its place in the classification of uniform tilings, was already known to Johannes Kepler in his 1619 book Harmonices Mundi. The pattern has long been used in Japanese basketry, where it is called kagome. The Japanese term for this pattern has been taken up in physics, where it is called a kagome lattice. It occurs also in the crystal structures of certain minerals. Conway calls it a hexadeltille, combining alternate elements from a hexagonal tiling (hextille) and triangular tiling (deltille).
Кагоме
Кагоме (Kagome) — традиционный японский узор из плетёного бамбука; его название составлено из слов *kago*, означающего «корзина», и *me*, означающего «глаза», что отсылает к узору отверстий в плетёной корзине. Узор кагоме широко распространен в бамбуковом плетении в Восточной Азии. В 2022 году археологи обнаружили остатки бамбукового плетения на руинах Донгсунба в Чунцине (Китай), датируемые 200 годом до нашей эры. Даже спустя 2200 лет узор кагоме остаётся отчетливо видимым. Это плетёная структура, состоящая из переплетённых треугольников, где каждая точка пересечения двух планок имеет четыре соседних точки, формируя узор тригексагональной мозаики. Процесс плетения наделяет кагоме хиральной симметрией группы обоев p6 (632).
Kagome ([[wikt:籠目#Japanese) is a traditional Japanese woven bamboo pattern; its name is composed from the words kago, meaning "basket", and me, meaning "eye(s)", referring to the pattern of holes in a woven basket. The kagome pattern is common in bamboo weaving in East Asia. In 2022, archaeologists found bamboo weaving remains at the Dongsunba ruins in Chongqing, China, 200 BC. After 2200 years, the kagome pattern is still clear. It is a woven arrangement of laths composed of interlaced triangles such that each point where two laths cross has four neighboring points, forming the pattern of a trihexagonal tiling. The woven process gives the Kagome a chiral wallpaper group symmetry, p6 (632).
Решетка Кагоме
Термин kagome lattice был придуман японским физиком Коди Хусими и впервые появился в 1951 году в статье его ассистента Итиро Сёджи. Решетка кагоме в этом смысле состоит из вершин и рёбер тригексагональной мозаики. Несмотря на название, эти точки пересечения не образуют математическую решётку. Связанная трёхмерная структура, образованная вершинами и рёбрами четверти кубической сотовой структуры, заполняющая пространство правильными тетраэдрами и усечёнными тетраэдрами, была названа гипер-кагоме решёткой. Она представлена вершинами и рёбрами четверти кубической сотовой структуры, заполняющей пространство правильными тетраэдрами и усечёнными тетраэдрами. Она содержит четыре набора параллельных плоскостей точек и линий, каждая из которых представляет собой двухмерную решётку кагоме. Другая структура в трёх измерениях имеет параллельные слои двухмерных решёток и называется орторомбической решёткой кагоме. Было обнаружено, что квантовые магниты, реализованные на металлах кагоме, демонстрируют множество неожиданных электронных и магнитных явлений. Также предполагается, что поведение SYK можно наблюдать в двухмерной решётке кагоме с примесями. Этот термин широко используется в научной литературе, особенно теоретиками, изучающими магнитные свойства теоретической решётки кагоме. См. также: гребни кагоме.
The term kagome lattice was coined by Japanese physicist Kôdi Husimi, and first appeared in a 1951 paper by his assistant Ichirō Shōji. The kagome lattice in this sense consists of the vertices and edges of the trihexagonal tiling. Despite the name, these crossing points do not form a mathematical lattice. A related three dimensional structure formed by the vertices and edges of the quarter cubic honeycomb, filling space by regular tetrahedra and truncated tetrahedra, has been called a hyper kagome lattice. It is represented by the vertices and edges of the quarter cubic honeycomb, filling space by regular tetrahedra and truncated tetrahedra. It contains four sets of parallel planes of points and lines, each plane being a two dimensional kagome lattice. A second expression in three dimensions has parallel layers of two dimensional lattices and is called an orthorhombic kagome lattice. Quantum magnets realized on Kagome metals have been discovered to exhibit many unexpected electronic and magnetic phenomena. It is also proposed that SYK behavior can be observed in two dimensional kagome lattice with impurities. The term is much in use nowadays in the scientific literature, especially by theorists studying the magnetic properties of a theoretical kagome lattice. See also: Kagome crests.
Симметрия
Триэкзагональная мозаика имеет символ Шлефли r{6,3} или диаграмму Коксетера, , символизирующую тот факт, что она является усечённой гексагональной мозаикой, {6,3}. Её симметрии описываются группой обоев p6mm, (*632), и мозаику можно получить как построение Вайтхоффа в фундаментальных областях отражений этой группы. Триэкзагональная мозаика является квазиправильной мозаикой, чередующей два типа многоугольников с конфигурацией вершин (3.6)2. Она также является однородной мозаикой, одной из восьми, производных от правильной гексагональной мозаики.
The trihexagonal tiling has Schläfli symbol of r{6,3}, or Coxeter diagram, , symbolizing the fact that it is a rectified hexagonal tiling, {6,3}. Its symmetries can be described by the wallpaper group p6mm, (*632), and the tiling can be derived as a Wythoff construction within the reflectional fundamental domains of this group. The trihexagonal tiling is a quasiregular tiling, alternating two types of polygons, with vertex configuration (3.6)2. It is also a uniform tiling, one of eight derived from the regular hexagonal tiling.
Одинаковые окраски
Существует два различных однородных раскрашивания тригексагональной мозаики. Обозначим цвета индексами на 4 гранях вокруг вершины (3.6.3.6): 1212, 1232. Каждый круг касается 4 других кругов в упаковке (число касаний).
There are two distinct uniform colorings of a trihexagonal tiling. Naming the colors by indices on the 4 faces around a vertex (3.6.3.6): 1212, 1232. Every circle is in contact with 4 other circles in the packing (kissing number).
Топологически эквивалентные плитки
Тригексагональная мозаика может быть геометрически деформирована в топологически эквивалентные мозаики с более низкой симметрией.
The trihexagonal tiling can be geometrically distorted into topologically equivalent tilings of lower symmetry.