Введение

Релятивистское уравнение, связывающее полную энергию с инвариантной массой и импульсом
В физике соотношение между энергией и импульсом, или релятивистское дисперсионное соотношение, — это релятивистское уравнение, связывающее полную энергию (которая также называется релятивистской энергией) с инвариантной массой (которая также называется массой покоя) и импульсом. Оно является обобщением эквивалентности массы и энергии для тел или систем с ненулевым импульсом. Его можно записать следующим образом:

Это уравнение применимо к телу или системе, например, к одной или нескольким частицам, с полной энергией E, инвариантной массой m0 и импульсом, имеющим величину p; постоянная c — это скорость света. Оно предполагает случай специальной теории относительности с плоским пространством-временем и то, что частицы являются свободными. Полная энергия — это сумма энергии покоя и кинетической энергии, а инвариантная масса — это масса, измеренная в системе отсчета, где полный импульс равен нулю. Для тел или систем с нулевым импульсом оно упрощается до уравнения эквивалентности массы и энергии, где полная энергия в этом случае равна энергии покоя (также обозначается как E0). Модель моря Дирака, которая использовалась для предсказания существования антиматерии, тесно связана с соотношением между энергией и импульсом.

Соединение с

Отношение энергия-импульс согласуется с известным соотношением масса-энергия в обоих его толкованиях: оно связывает полную энергию E с (полной) релятивистской массой m (также обозначаемой как mrel или mtot), а также связывает энергию покоя E0 с (инвариантной) массой покоя m0. В отличие от любого из этих уравнений, уравнение энергия-импульс связывает полную энергию с массой покоя m0. Все три уравнения справедливы одновременно.

Особые случаи

Если тело является безмассовой частицей, то сводится к . Для фотонов это соотношение, открытое в классической электродинамике XIX века, между излучательным импульсом (вызывающим давление излучения) и излучательной энергией. Если скорость тела v намного меньше c, то сводится к ; то есть, полная энергия тела – это просто его классическая кинетическая энергия плюс энергия покоя. Если тело находится в состоянии покоя, то есть в своей системе отсчета, где импульс равен нулю, то и ; таким образом, соотношение между энергией и импульсом, а также обе формы соотношения между массой и энергией (упомянутые выше) становятся одинаковыми. Более общая форма этого соотношения справедлива для общей теории относительности. Инвариантная масса (или масса покоя) является инвариантом для всех систем отсчета (отсюда и название), не только в инерциальных системах в плоском пространстве-времени, но и в ускоренных системах, движущихся в искривленном пространстве-времени (см. ниже). Однако полная энергия частицы E и ее релятивистский импульс p зависят от системы отсчета; относительное движение между двумя системами отсчета приводит к тому, что наблюдатели в этих системах измеряют разные значения энергии и импульса частицы; одна система измеряет E и p, а другая – и , где и , если только между наблюдателями нет относительного движения, в этом случае каждый наблюдатель измеряет одну и ту же энергию и импульс. Хотя в плоском пространстве-времени по-прежнему выполняется:

Величины E, p, , связаны преобразованием Лоренца. Это соотношение позволяет избежать использования преобразований Лоренца при определении только величин энергии и импульса, приравнивая соотношения в разных системах отсчета. Опять же, в плоском пространстве-времени это выражается следующим образом:

Поскольку m0 не меняется от системы отсчета к системе отсчета, соотношение между энергией и импульсом используется в релятивистской механике и расчетах в физике частиц, поскольку энергия и импульс задаются в системе покоя частицы (то есть, и , как заключил бы наблюдатель, движущийся вместе с частицей) и измеряются в лабораторной системе отсчета (то есть E и p, как определено физиками-экспериментаторами в лаборатории, а не движущимися вместе с частицами). В релятивистской квантовой механике это является основой для построения релятивистских волновых уравнений, поскольку если релятивистское волновое уравнение, описывающее частицу, согласуется с этим уравнением, то оно согласуется с релятивистской механикой и является инвариантным относительно преобразований Лоренца. В релятивистской квантовой теории поля оно применимо ко всем частицам и полям.