Введение
Семья геометрических объектов с общим свойством класс геометрических объектов В геометрии карандаш - это семейство геометрических объектов с общим свойством, например, набор линий, проходящих через данную точку в плоскости, или набор кругов, проходящих через две данные точки в плоскости. Хотя определение карандаша довольно расплывчатое, общая характеристика состоит в том, что карандаш полностью определяется любыми двумя его членами. Аналогично, набор геометрических объектов, которые определяются любыми тремя его членами, называется пучком. Таким образом, множество всех линий через точку в трехмерном пространстве представляет собой пучок линий, любые две из которых определяют карандаш линий. Чтобы подчеркнуть двумерность такого карандаша, его иногда называют плоским карандашом. Любой геометрический объект может быть использован в карандаше. Наиболее распространенными из них являются линии, плоскости, круги, конусы, сферы и общие кривые. Можно использовать даже очки. Олова из точек - это множество всех точек на данной прямой. Общая точка карандаша из линий называется вершиной карандаша. В аффинной плоскости с рефлексивным вариантом параллелизма набор параллельных линий образует класс эквивалентности, называемый карандашом параллельных линий. Эта терминология согласуется с вышеуказанным определением, поскольку в уникальном проективном расширении аффинной плоскости на проективную плоскость к каждой линии в карандаше параллельных линий добавляется одна точка (точка в бесконечности), что делает ее карандашом в вышеуказанном смысле в проективной плоскости.
a class of geometric objects
In geometry, a pencil is a family of geometric objects with a common property, for example the set of lines that pass through a given point in a plane, or the set of circles that pass through two given points in a plane. Although the definition of a pencil is rather vague, the common characteristic is that the pencil is completely determined by any two of its members. Analogously, a set of geometric objects that are determined by any three of its members is called a bundle. Thus, the set of all lines through a point in three space is a bundle of lines, any two of which determine a pencil of lines. To emphasize the two dimensional nature of such a pencil, it is sometimes referred to as a flat pencil. Any geometric object can be used in a pencil. The common ones are lines, planes, circles, conics, spheres, and general curves. Even points can be used. A pencil of points is the set of all points on a given line. The common point of a pencil of lines is called the vertex of the pencil. In an affine plane with the reflexive variant of parallelism, a set of parallel lines forms an equivalence class called a pencil of parallel lines. This terminology is consistent with the above definition since in the unique projective extension of the affine plane to a projective plane a single point (point at infinity) is added to each line in the pencil of parallel lines, thus making it a pencil in the above sense in the projective plane.
Карандаш плоскостей
Угол, на котором проходит пятна, называется осью. Карандаш иногда называют осевым карандашом или вентилятором плоскостей или снопом плоскостей. Например, меридианы земного шара определяются карандашом плоскостей на оси вращения Земли. Две пересекающиеся плоскости встречаются в прямой в трех пространствах, и таким образом, определять ось и, следовательно, все плоскости в карандаше. Четыре пространства кватернионов можно рассматривать как осевой карандаш сложных плоскостей, все разделяющие одну и ту же реальную линию. Фактически, кватернионы содержат сферу мнимых единиц, а пара антиподальных точек на этой сфере вместе с реальной осью образуют сложную плоскость. Соединение всех этих сложных плоскостей составляет 4 алгебру кватернионов.
Карандаш из кругов
Любые два круга в плоскости имеют общую коренную ось, которая представляет собой линию, состоящую из всех точек, которые имеют одинаковую силу по отношению к двум кругам. Олова кругов (или коаксиальная система) - это множество всех кругов в плоскости с одной и той же радикальной осью. Чтобы быть инклюзивными, концентрические круги, как говорят, имеют линию в бесконечности в качестве радикальной оси. Существует пять типов карандашей кругов, две семьи Аполлонских кругов на иллюстрации выше представляют два из них. Каждый тип определяется двумя кругами, называемыми генераторами карандаша. При алгебраическом описании возможно, что уравнения могут допускать мнимые решения. Типы: эллиптический карандаш (красное семейство кругов на рисунке) определяется двумя генераторами, которые проходят друг через друга в точности в двух точках. Каждый круг эллиптического карандаша проходит через две одинаковые точки. Эллиптический карандаш не содержит воображаемых кругов. Гиперболический карандаш (синее семейство кругов на рисунке) определяется двумя генераторами, которые не пересекаются друг с другом в какой-либо точке. Он включает в себя реальные круги, воображаемые круги и два вырожденных круга, называемых точками карандаша Понселета. Каждая точка в плоскости принадлежит точно одному кругу карандаша. Параболический карандаш (как ограничивающий случай) определяется, когда два генерирующих круга касаются друг друга в одной точке. Он состоит из семьи реальных кругов, все касающиеся друг друга в одной общей точке. Извращенный круг с нулевым радиусом в этой точке также принадлежит карандашу. Семейство концентрических кругов, сосредоточенных в общем центре (может рассматриваться как особый случай гиперболического карандаша, где другая точка является точкой в бесконечности). Семья прямых линий, проходящих через общую точку; их следует интерпретировать как круги, которые все проходят через точку в бесконечности (может считаться особым случаем эллиптического карандаша).
An elliptic pencil (red family of circles in the figure) is defined by two generators that pass through each other in exactly two points. Every circle of an elliptic pencil passes through the same two points. An elliptic pencil does not include any imaginary circles. A hyperbolic pencil (blue family of circles in the figure) is defined by two generators that do not intersect each other at any point. It includes real circles, imaginary circles, and two degenerate point circles called the Poncelet points of the pencil. Each point in the plane belongs to exactly one circle of the pencil. A parabolic pencil (as a limiting case) is defined where two generating circles are tangent to each other at a single point. It consists of a family of real circles, all tangent to each other at a single common point. The degenerate circle with radius zero at that point also belongs to the pencil. A family of concentric circles centered at a common center (may be considered a special case of a hyperbolic pencil where the other point is the point at infinity). The family of straight lines through a common point; these should be interpreted as circles that all pass through the point at infinity (may be considered a special case of an elliptic pencil).
Кардиоид как оболочка карандаша из кругов
Другой тип карандаша из кругов можно получить следующим образом. Рассмотрим данный круг (называемый генераторным кругом) и отдельную точку P на генераторном круге. Множество всех кругов, которые проходят через P и имеют свои центры на генераторном круге, образуют карандаш из кругов. Конверт этого карандаша - кардиоид.
Калтушки плоских кривых
Более общим образом, карандаш - это особый случай линейной системы делителей, в которой пространство параметров является проективной линией. Типичные карандаши кривых в проективной плоскости, например, записываются так, что 1=C = 0, 1=C′ = 0 - плоские кривые.
where 1=C = 0, 1=C′ = 0 are plane curves.
История
Десаргусу приписывают изобретение термина "карандаш линий" (ordonnance de lignes). Ранний автор современной проективной геометрии Г. Б. Халстед ввёл термины копунктальный и плоский карандаш для определения угла: "Прямолинейные с одним и тем же крестом являются копунктальными". Также "Сбор всех сопланарных, сопунктальных прямых называется плоским карандашом" и "Часть плоского карандаша, ограниченная двумя прямыми в качестве сторон, называется углом".