Введение

Математическая операция над обратимыми матрицами
В математике логарифмом матрицы называется другая матрица, такая что матричное экспоненцирование этой матрицы дает исходную матрицу. Таким образом, это обобщение скалярного логарифма и, в некотором смысле, обратная функция к матричному экспоненцированию. Не все матрицы имеют логарифм, и те матрицы, которые имеют логарифм, могут иметь более одного логарифма. Изучение логарифмов матриц приводит к теории Ли, поскольку если матрица имеет логарифм, то она является элементом группы Ли, а логарифм – соответствующим элементом векторного пространства алгебры Ли.

Существование

Вопрос о том, имеет ли матрица логарифм, находит самое простое решение при рассмотрении в комплексной области. Комплексная матрица имеет логарифм тогда и только тогда, когда она обратима. Логарифм не является единственным, но если у матрицы нет отрицательных вещественных собственных значений, то существует единственный логарифм, собственные значения которого лежат в полосе. Этот логарифм известен как главный логарифм. Ответ более сложен в вещественной области. Вещественная матрица имеет вещественный логарифм тогда и только тогда, когда она обратима и каждый жорданов блок, соответствующий отрицательному собственному значению, встречается четное число раз. Если обратимая вещественная матрица не удовлетворяет условию с жордановыми блоками, то она имеет только комплексные логарифмы. Это уже можно увидеть в скалярном случае: ни одна ветвь логарифма не может быть вещественной в точке 1. Существование вещественных логарифмов вещественных матриц 2×2 рассматривается в последующем разделе.

Перспектива функционального анализа

Квадратная матрица представляет собой линейный оператор в евклидовом пространстве Rn, где n – размерность матрицы. Поскольку такое пространство конечномерно, этот оператор является ограниченным. Используя инструменты голоморфного функционального исчисления, для голоморфной функции f, определенной на открытом множестве комплексной плоскости, и ограниченного линейного оператора T, можно вычислить f(T), если f определена на спектре T.

Функция f(z) = log z может быть определена на любом односвязном открытом множестве комплексной плоскости, не содержащем начало координат, и она голоморфна на такой области. Это означает, что можно определить ln T, если спектр T не содержит начало координат и существует путь из начала координат в бесконечность, не пересекающий спектр T (например, если спектр T представляет собой окружность, содержащую начало координат внутри себя, определить ln T невозможно). Спектр линейного оператора на Rn – это множество собственных значений его матрицы, и, следовательно, является конечным множеством. Пока начало координат не входит в спектр (матрица невырождена), условие существования пути из предыдущего абзаца выполняется, и ln T определен однозначно. Неоднозначность матричного логарифма обусловлена тем, что можно выбрать более одной ветви логарифма, определенной на множестве собственных значений матрицы.