Кіріспе
Инвертируемым матрицаларға қатысты математикалық амалдар. Математикада матрицаның логарифмі – бұл екінші матрицаның матрицалық экспонентасы бастапқы матрицаға тең болатын матрица. Бұл скалярлық логарифмнің жалпыламасы және белгілі бір мағынада матрицалық экспонентаның кері функциясы. Барлық матрицалардың да логарифмі бола бермейді, ал логарифмі бар матрицалардың бірнеше логарифмі болуы мүмкін. Матрицалардың логарифмдерін зерттеу Ли теориясына алып келеді, себебі матрицаның логарифмі болса, онда ол Ли тобының мүшесі болады, ал логарифм – Ли алгебрасының векторлық кеңістігінің сәйкес мүшесі болып табылады.
In mathematics, a logarithm of a matrix is another matrix such that the matrix exponential of the latter matrix equals the original matrix. It is thus a generalization of the scalar logarithm and in some sense an inverse function of the matrix exponential. Not all matrices have a logarithm and those matrices that do have a logarithm may have more than one logarithm. The study of logarithms of matrices leads to Lie theory since when a matrix has a logarithm then it is in an element of a Lie group and the logarithm is the corresponding element of the vector space of the Lie algebra.
Тіршілік ету
Матрицаның логарифмі бар ма деген сұраққа кешенді жағдайда қарағанда ең оңай жауап беріледі. Кешенді матрицаның логарифмі бар, егер және тек қана ол кері айналатын болса. Логарифм бірегей емес, бірақ егер матрицада теріс нақты өзіндік мәндер болмаса, онда өзіндік мәндері жолақтың ішінде жатқан бірегей логарифм болады. Бұл логарифм негізгі логарифм деп аталады. Нақты жағдайда жауап күрделірек. Нақты матрицаның нақты логарифмі бар, егер және тек қана ол кері айналатын болса және теріс өзіндік мәнге тиесілі әрбір Жордан блогы жұп санда кездессе. Егер кері айналатын нақты матрица Жордан блоктарымен байланысты шартты орындамаса, онда оның тек нақты емес логарифмдері болады. Бұл скалярлық жағдайда-ақ көрінеді: логарифмнің ешбір тармағы 1-де нақты бола алмайды. Нақты 2×2 матрицалардың нақты логарифмдерінің болуы кейінгі бөлімде қарастырылады.
Функционалдық талдау көзқарасы
Квадраттық матрица Евклид кеңістігіндегі Rn сызықтық операторын көрсетеді, мұнда n – матрицаның өлшемі. Мұндай кеңістік шекті өлшемді болғандықтан, бұл оператор іс жүзінде шектеулі. Голоморфты функционалдық есептеу құралдарын қолдана отырып, кешен жазықтықтағы ашық жиынға анықталған голоморфты функция f және шектеулі сызықтық оператор T үшін, f функциясы T спектрінде анықталған жағдайда f(T) есептелуі мүмкін.
f(z) = log z функциясын кешен жазықтықтағы бастап нүктесін қамтымайтын кез келген жай байланысты ашық жиында анықтауға болады, және ол мұндай доменде голоморфты болады. Бұл, T спектрінде бастап нүктесі болмаса және T спектрін кесіп өтпейтін бастап нүктеден шексіздікке дейінгі жол болса, ln T анықталуы мүмкін дегенді білдіреді (мысалы, егер T спектрі бастап нүктесі ішінде орналасқан шеңбер болса, ln T анықтау мүмкін емес). Rn кеңістігіндегі сызықтық оператордың спектрі – оның матрицасының өзіндік мәндерінің жиынтығы, және ол шекті жиынтық болып табылады. Егер бастап нүктесі спектрде болмаса (матрица инверттік болса), алдыңғы абзацтағы жол шарты орындалады және ln T дұрыс анықталады. Матрицалық логарифмнің бірегей болмауы – матрицаның өзіндік мәндерінің жиынтығында анықталған логарифмнің бірнеше тармағын таңдау мүмкіндігінен туындайды.