Пятиугольная мозаика плоскости: от Каира до архитектуры и кристаллографии

Введение

Плитка плоскости пятиугольниками

В геометрии пятиугольная плитка Каира — это мощение евклидовой плоскости конгруэнтными выпуклыми пятиугольниками, образованное наложением двух мощений плоскости гексагонами и названное так из-за его использования в качестве узора облицовки в Каире. Она также называется сетью Макмаона в честь Перси Александра Макмаона, который изобразил её в своей публикации 1921 года «Новые математические развлечения». Джон Хортон Конвей назвал её четырехкратной пентиллой. Бесконечное множество различных пятиугольников может формировать этот узор, принадлежа к двум из 15 семейств выпуклых пятиугольников, способных замостить плоскость. Их мощения обладают различной симметрией; все они обладают лицевой симметрией. Одна конкретная форма мощения, двойственная усечённой квадратной плитке, имеет плитки с минимально возможным периметром среди всех пятиугольных мощений. Другая, полученная наложением двух уплощенных мощений правильными гексагонами, используется в Каире и обладает свойством, что каждая сторона коллинеарна с бесконечным числом других сторон. В архитектуре, помимо Каира, плитка Каира использовалась в архитектуре Великих Моголов в Индии XVIII века, в начале XX века в Лайсхалле в Германии, а также во многих современных зданиях и инсталляциях. Она также изучалась как кристаллическая структура и встречается в работах М. К. Эшера.

Структура и классификация

Соединение всех ребер каирской мозаики совпадает с соединением двух мозаик плоскости гексагонами. Каждый гексагон одной мозаики окружает две вершины другой мозаики и делится гексагонами другой мозаики на четыре пятиугольника в каирской мозаике. Бесконечно много различных пятиугольников могут образовывать каирские мозаики, все с одинаковым рисунком смежности между элементами мозаики и с одинаковым разложением на гексагоны, но с различными длинами сторон, углами и симметрией. Пятиугольники, образующие эти мозаики, можно сгруппировать в две различные бесконечные семьи, взятые из 15 семейств выпуклых пятиугольников, способных покрыть плоскость, и пяти семейств пятиугольников, найденных Карлом Райнхартом в 1918 году, способных покрыть плоскость изоэдрически (все элементы мозаики симметричны друг другу). Одна из этих двух семейств состоит из пятиугольников, имеющих два несмежных прямых угла, с парой сторон одинаковой длины, сходящихся в каждом из этих прямых углов. Любой пятиугольник, удовлетворяющий этим требованиям, покрывает плоскость копиями, которые в выбранных прямых углах повернуты на 90 градусов относительно друг друга. На сторонах пятиугольника, не примыкающих к одному из этих двух прямых углов, встречаются две плитки, повернутые на 180 градусов относительно друг друга. В результате получается изоэдральная мозаика, то есть любой пятиугольник в мозаике может быть преобразован в любой другой пятиугольник посредством симметрии мозаики. Эти пятиугольники и их мозаики часто перечисляются как "тип 4" в списке типов пятиугольников, способных покрывать плоскость. Для любой каирской мозаики типа 4, двенадцать таких же элементов мозаики также могут покрыть поверхность куба, при этом один элемент мозаики загибается вдоль каждого ребра куба и три прямых угла элементов мозаики сходятся в каждой вершине куба, образуя ту же комбинаторную структуру, что и правильный додекаэдр. Другая семья пятиугольников, образующих каирскую мозаику, – это пятиугольники, имеющие два дополнительных угла в несмежных вершинах, каждый из которых имеет две одинаковые длины сторон, прилегающих к нему. В их мозаиках вершины с дополнительными углами чередуются вокруг каждой вершины четвертой степени. Пятиугольники, удовлетворяющие этим ограничениям, обычно не перечисляются как одно из 15 семейств пятиугольников, способных покрывать плоскость; скорее, они являются частью более крупного семейства пятиугольников (пятиугольников "типа 2"), которые покрывают плоскость изоэдрически другим способом. Двусторонне симметричные каирские мозаики образуются пятиугольниками, принадлежащими как к семействам типа 2, так и к семействам типа 4. Мозаика из кирпичей, уложенных в виде корзины, может рассматриваться как вырожденный случай двусторонне симметричных каирских мозаик, где каждый кирпич (прямоугольник) интерпретируется как пятиугольник с четырьмя прямыми углами и одним углом в 180 градусов. Можно присвоить пятиугольникам мозаики шестимерные полуцелые координаты таким образом, чтобы число шагов от ребра к ребру между любыми двумя пятиугольниками равнялось расстоянию L¹ между их координатами. Шесть координат каждого пятиугольника можно сгруппировать в две тройки координат, в которых каждая тройка дает координаты гексагона в аналогичной трехмерной системе координат для каждой из двух наложенных гексагональных мозаик. Число элементов мозаики, находящихся на расстоянии шагов от любого заданного элемента мозаики, для , задается последовательностью координат, в которой, после первых трех членов, каждый член отличается на 16 от члена, находящегося на три шага назад в последовательности. Можно также определить аналогичные координационные последовательности для вершин мозаики вместо ее элементов мозаики, но поскольку существует два типа вершин (третьей и четвертой степени) возникают две различные координационные последовательности. Последовательность четвертой степени такая же, как и для квадратной сетки.

The union of all edges of a Cairo tiling is the same as the union of two tilings of the plane by hexagons. Each hexagon of one tiling surrounds two vertices of the other tiling, and is divided by the hexagons of the other tiling into four of the pentagons in the Cairo tiling. Infinitely many different pentagons can form Cairo tilings, all with the same pattern of adjacencies between tiles and with the same decomposition into hexagons, but with varying edge lengths, angles, and symmetries. The pentagons that form these tilings can be grouped into two different infinite families, drawn from the 15 families of convex pentagons that can tile the plane, and the five families of pentagon found by Karl Reinhardt in 1918 that can tile the plane isohedrally (all tiles symmetric to each other). One of these two families consists of pentagons that have two non adjacent right angles, with a pair of sides of equal length meeting at each of these right angles. Any pentagon meeting these requirements tiles the plane by copies that, at the chosen right angled corners, are rotated by a right angle with respect to each other. At the pentagon sides that are not adjacent to one of these two right angles, two tiles meet, rotated by a 180° angle with respect to each other. The result is an isohedral tiling, meaning that any pentagon in the tiling can be transformed into any other pentagon by a symmetry of the tiling. These pentagons and their tiling are often listed as "type 4" in the listing of types of pentagon that can tile. For any type 4 Cairo tiling, twelve of the same tiles can also cover the surface of a cube, with one tile folded across each cube edge and three right angles of tiles meeting at each cube vertex, to form the same combinatorial structure as a regular dodecahedron. The other family of pentagons forming the Cairo tiling are pentagons that have two complementary angles at non adjacent vertices, each having the same two side lengths incident to it. In their tilings, the vertices with complementary angles alternate around each degree four vertex. The pentagons meeting these constraints
are not generally listed as one of the 15 families of pentagons that tile; rather, they are part of a larger family of pentagons (the "type 2" pentagons) that tile the plane isohedrally in a different way. Bilaterally symmetric Cairo tilings are formed by pentagons that belong to both the type 2 and type 4 families. The basketweave brick paving pattern can be seen as a degenerate case of the bilaterally symmetric Cairo tilings, with each brick (a rectangle) interpreted as a pentagon with four right angles and one 180° angle. It is possible to assign six dimensional half integer coordinates to the pentagons of the tiling, in such a way that the number of edge to edge steps between any two pentagons equals the L^(1) distance between their coordinates. The six coordinates of each pentagon can be grouped into two triples of coordinates, in which each triple gives the coordinates of a hexagon in an analogous three dimensional coordinate system for each of the two overlaid hexagon tilings. The number of tiles that are steps away from any given tile, for , is given by the coordination sequence

in which, after the first three terms, each term differs by 16 from the term three steps back in the sequence. One can also define analogous coordination sequences for the vertices of the tiling instead of for its tiles, but because there are two types of vertices (of degree three and degree four) there are two different coordination sequences arising in this way. The degree four sequence is the same as for the square grid.

Каталонская плитка

Квадратная плитка снуба, образованная двумя квадратами и тремя равносторонними треугольниками вокруг каждой вершины, имеет двусторонне симметричную каирскую плитку в качестве двойной. Каирскую плитку можно получить из квадратной плитки снуба, поместив вершину каирской плитки в центр каждого квадрата или треугольника квадратной плитки снуба и соединяя эти вершины рёбрами, когда они принадлежат смежным плиткам. Вокруг её пятиугольников можно описать окружность. У них четыре длинные стороны и одна короткая, соотношение длин которых составляет… Углы этих пятиугольников образуют последовательность 120°, 120°, 90°, 120°, 90°. Квадратная плитка снуба является архимедовой плиткой, а поскольку она двойственна архимедовой плитке, эта форма каирской пятиугольной плитки является каталонской или лавесовской плиткой. Это одна из двух моноэдральных пятиугольных плиток, которая при единичной площади плиток минимизирует периметр плиток. Другая также состоит из описанных пятиугольников с двумя прямыми углами и тремя углами 120°, но с расположенными рядом прямыми углами; также существует бесконечно много плиток, образованных комбинацией обоих типов пятиугольников.

Плитки с коллинеарными краями

Пятиугольники с целочисленными координатами вершин , , и , с четырьмя равными сторонами, меньшими по длине, чем оставшаяся сторона, образуют кайрскую мозаику, две гексагональные мозаики которой могут быть получены путем сплющивания двух перпендикулярных мозаик правильными гексагонами в перпендикулярных направлениях с коэффициентом масштабирования . Эта форма кайрской мозаики наследует свойство мозаик правильными гексагонами (которое сохраняется при сплющивании), заключающееся в том, что каждый отрезок сонаправлен с бесконечным числом других отрезков.

Плитки с одинаковой длиной сторон

Регулярный пятиугольник не может образовывать каирскую мозаику, так как он не может покрыть плоскость без зазоров. Существует единственный равносторонний пятиугольник, который может образовывать каирскую мозаику типа 4; он имеет пять равных сторон, но его углы не равны, а сама мозаика обладает билатеральной симметрией. Бесконечно много других равносторонних пятиугольников могут образовывать каирские мозаики типа 2.

Приложения

Несколько улиц в Каире были вымощены коллинеарной формой каирской укладки; это применение и послужило источником названия укладки. По состоянию на 2019 год этот узор всё ещё можно увидеть в качестве декоративного элемента на квадратных плитах возле моста Каср-Эль-Нил и станции метро Эль-Бехоос; другие варианты укладки встречаются в других частях города. Некоторые авторы, включая Мартина Гарднера, утверждали, что этот узор широко используется в исламской архитектуре, однако это утверждение, по-видимому, основано на недоразумении. Узоры, напоминающие каирскую укладку, можно увидеть на гробнице И’тимад уд-Даула в Индии, датируемой XVII веком, а сама каирская укладка была обнаружена на могольском джали XVII века. Одно из самых ранних упоминаний каирской укладки как декоративного элемента содержится в книге по дизайну текстиля 1906 года. Изобретатель Х. К. Мур запатентовал плитку, формирующую этот узор, в 1908 году. Практически одновременно Villeroy & Boch выпустила серию керамической напольной плитки с каирской укладкой, которая использовалась в вестибюле Laeiszhalle в Гамбурге, Германия. Каирская укладка использовалась в качестве декоративного элемента во многих современных архитектурных проектах; например, центр города Хёрсхольм в Дании вымощен этим узором, а Центр Замет, спортивный зал в Хорватии, использует его как для внешней отделки стен, так и для мощения. В кристаллографии эта укладка изучается как минимум с 1911 года. Она была предложена в качестве структуры для слоистых гидратных кристаллов, определённых соединений висмута и железа, а также пентаграфена – гипотетического соединения чистого углерода. В структуре пентаграфена рёбра, инцидентные вершинам четвёртой степени, образуют одинарные связи, а остальные рёбра – двойные связи. В гидрированной форме, пентаграфане, все связи являются одинарными, а атомы углерода в вершинах третьей степени структуры имеют четвёртую связь с атомами водорода. Каирская укладка была описана как один из «любимых геометрических узоров» М. К. Эшера. Он использовал её в качестве основы для своей графики «Раковины и морские звёзды» (1941), в сегменте с пчёлами на цветах его работы «Метаморфозы III» (1967–1968), а также в нескольких других работах 1967–1968 годов. Изображение этой тесселяции также было использовано в качестве обложки первого издания книги Х. С. М. Коксетера «Regular Complex Polytopes» (1974).

Several streets in Cairo have been paved with the collinear form of the Cairo tiling; this application is the origin of the name of the tiling. As of 2019 this pattern can still be seen as a surface decoration for square tiles near the Qasr El Nil Bridge and the El Behoos Metro station; other versions of the tiling are visible elsewhere in the city. Some authors including Martin Gardner have written that this pattern is used more widely in Islamic architecture, and although this claim appears to have been based on a misunderstanding, patterns resembling the Cairo tiling are visible on the 17th century Tomb of I'timād ud Daulah in India, and the Cairo tiling itself has been found on a 17th century Mughal jali. One of the earliest publications on the Cairo tiling as a decorative pattern occurs in a book on textile design from 1906. Inventor H. C. Moore filed a US patent on tiles forming this pattern in 1908. At roughly the same time, Villeroy & Boch created a line of ceramic floor tiles in the Cairo tiling pattern, used in the foyer of the Laeiszhalle in Hamburg, Germany. The Cairo tiling has been used as a decorative pattern in many recent architectural designs; for instance, the city center of Hørsholm, Denmark, is paved with this pattern, and the Centar Zamet, a sports hall in Croatia, uses it both for its exterior walls and its paving tiles. In crystallography, this tiling has been studied at least since 1911. It has been proposed as the structure for layered hydrate crystals, certain compounds of bismuth and iron, and penta graphene, a hypothetical compound of pure carbon. In the penta graphene structure, the edges of the tiling incident to degree four vertices form single bonds, while the remaining edges form double bonds. In its hydrogenated form, penta graphane, all bonds are single bonds and the carbon atoms at the degree three vertices of the structure have a fourth bond connecting them to hydrogen atoms. The Cairo tiling has been described as one of M. C. Escher's "favorite geometric patterns". He used it as the basis for his drawing Shells and Starfish (1941), in the bees on flowers segment of his Metamorphosis III (1967–1968), and in several other drawings from 1967–1968. An image of this tessellation has also been used as the cover art for the 1974 first edition of H. S. M. Coxeter's book Regular Complex Polytopes.