Введение
Арифметическая головоломка
Убийственная судоку (также killer su doku, sumdoku, sum doku, sumoku, addoku или samunamupure) — это головоломка, сочетающая элементы судоку и какуро. Несмотря на название, самые простые варианты убийственной судоку могут быть легче в решении, чем обычные судоку, в зависимости от навыков решающего в области устного счета; однако самые сложные могут потребовать несколько часов для решения. Типичный пример представлен справа, где для выделения групп ячеек используются цвета. Чаще головоломки печатаются в черно-белом варианте, с тонкими пунктирными линиями, обозначающими "блоки" (терминология приведена ниже).
История
К середине 1990-х годов головоломки «киллер судоку» уже были устоявшимся вариантом судоку в Японии, где они были известны как «самунамупуре». Название произошло от японской адаптации английских слов "sum number place". Головоломки «киллер судоку» были представлены большинству англоязычных стран газетой The Times в 2005 году. Традиционно, как и в классических судоку, расположение сетки симметрично относительно диагональной, горизонтальной или вертикальной оси, или поворота на четверть или половину вокруг центра. Однако это скорее вопрос эстетики, чем обязательное требование: многие японские составители головоломок допускают небольшие отклонения от идеальной симметрии ради улучшения головоломки. Другие составители могут создавать полностью асимметричные головоломки.
Неоднозначность дублирования ячейки
По традиции в Японии, в клетках судоку-убийцы не допускаются повторяющиеся цифры. Однако, когда газета The Times впервые представила судоку-убийцу 31 августа 2005 года, газета не сформулировала это правило явно. Несмотря на то, что подавляющее большинство головоломок судоку-убийцы в любом случае соответствовали этому правилу, англоязычные решатели были сбиты с толку подходящими стратегиями решения из-за этой неопределенности. 16 сентября 2005 года The Times добавила новое правило, согласно которому "Внутри каждой фигуры, ограниченной пунктирной линией, цифра МОЖЕТ повторяться, если это не нарушает обычные правила строк, столбцов и блоков 3x3". Но 19 сентября правило изменилось на "Внутри каждой фигуры, ограниченной пунктирной линией, цифра НЕ МОЖЕТ повторяться, если это не нарушает обычные правила строк, столбцов и блоков 3x3", что вызвало еще большую путаницу. Это исправленное правило закрепилось, и мировым стандартом является отсутствие повторяющихся цифр в клетках.
Наименьшее количество возможных комбинаций
Как правило, лучше всего решать задачу, начиная с крайних сумм – областей с наибольшими или наименьшими суммами. Это связано с тем, что у них наименьшее количество возможных комбинаций. Например, 5 клеток в одной области, дающих в сумме 34, могут содержать только числа 4, 6, 7, 8 и 9. В то время как 5 клеток в одной области, дающих в сумме 25, имеют двенадцать возможных комбинаций. На ранних этапах игры наиболее распространенный способ начать заполнение чисел – это рассмотреть такие области с низкой или высокой суммой, которые образуют «прямую линию». Поскольку решающий может сделать вывод из этого, что определенные числа находятся в определенной строке или столбце, он может начать «вычеркивать» невозможные варианты, основываясь на этих данных.
Правило 45
Дальнейший метод можно вывести из знания, что числа во всех блоках (строках, столбцах и группах 3x3) в сумме дают 45. Складывая значения областей и отдельных чисел в конкретном блоке, игрок может определить значение одной ячейки. Если вычисленная ячейка находится внутри этого блока, она называется «внутренней» (innie); если же ячейка находится вне блока, она называется «внешней» (outie). Даже если это невозможно, опытные игроки могут найти полезным вычислить сумму двух или трех ячеек, а затем применить другие техники исключения (пример этого смотрите ниже). Этот метод, основанный на числе «45», также можно расширить для вычисления значений «внутренних» или «внешних» ячеек в N соседних блоках, как разницу между суммой значений областей и N*45.
Часовая арифметика
Для вычисления или проверки значения одного "инни" или "аути" на большом количестве клеток можно сложить значения клеток, используя "часовую" арифметику (формально, модульную арифметику по модулю 10), в которой игнорируются все цифры, кроме последней в любом числе. При сложении двух чисел последняя цифра суммы зависит только от последних цифр исходных чисел. Например, сложение числа, заканчивающегося на 7, и числа, заканчивающегося на 8, всегда дает число, заканчивающееся на 5. Таким образом, 17 + 18 = 35 в часовой арифметике превращается в 7 + 8 = 5. Максимальное значение, которое может содержать "инни" или "аути", равно 9, поэтому добавление или вычитание этого значения изменит последнюю цифру суммы таким образом, что никакое другое значение не позволит напрямую рассчитать "инни" или "аути". Преимущество часовой арифметики заключается в том, что вы всегда работаете с однозначными суммами, а не с суммами, например, 58+27, и даже если эта концепция поначалу незнакома, она быстро становится простой. Пример: набор клеток образует полный нонет с "аути". Значения клеток: 8, 10, 14, 7, 14. При использовании обычной арифметики их сумма равна 53. Один нонет в сумме составляет 45, следовательно, "аути" должен содержать 8. Проверим это, используя часовую арифметику для этих значений: 8+0=8; 8+4=2; 2+7=9; 9+4=3. Таким образом, часовая сумма равна 3, что означает, что фактическая сумма также заканчивается на 3 (что мы и видим). Нечетное количество клеток (в данном случае, 1 нонет) всегда имеет арифметическую сумму, заканчивающуюся на 5, поэтому единственное "аути", которое мы можем добавить, чтобы изменить 5 на 3, – это снова 8. Дополнительным преимуществом часовой арифметики является то, что когда последние цифры двух сумм клеток дают 10 (например, 13 и 27), эта пара не влияет на общую часовую сумму и может быть пропущена. Часовую арифметику следует использовать с осторожностью для клеток с более чем одним "инни" или "аути", когда несколько наборов значений могут привести к одному и тому же конечному числу, но она все же может быть полезна для быстрой арифметической проверки.
Соответствующие числа в комбинациях
Даже если для некоторых клеток доступно несколько комбинаций чисел, часто можно найти одно или несколько чисел, которые присутствуют во всех возможных решениях. Например, клетка из четырех ячеек с суммой 13 может иметь комбинации (1, 2, 3, 7), (1, 2, 4, 6) или (1, 3, 4, 5). Хотя изначально невозможно определить, какая именно комбинация верна, во всех доступных решениях присутствует число 1. Тогда игрок может с уверенностью сказать, что одно из чисел в этой клетке – 1 (независимо от окончательного решения). Это может быть полезно, например, если игрок уже определил, что в одной из ячеек в регионе, содержащем эту клетку, находится число 1. Тогда он знает, что 1 может находиться только в ячейках, расположенных за пределами этого региона. Если доступна только одна ячейка, то это и есть 1.
Наименьшее количество возможных комбинаций
Две ячейки в верхнем левом углу должны давать в сумме 1+2. Следовательно, три ячейки справа, дающие в сумме 15, не могут содержать ни 1, ни 2, поэтому они должны быть либо 3+4+8, либо 3+5+7, либо 4+5+6. Две вертикальные ячейки в верхнем левом углу верхней правой нонет не могут быть 2+2, так как это привело бы к повторам, поэтому они должны быть 1+3. Цифра 1 не может находиться в верхней строке, так как это противоречит нашим первым двум ячейкам, следовательно, верхняя ячейка этой пары – 3, а нижняя – 1. Это также означает, что трехклеточная группа, дающая в сумме 15, слева не может содержать 3, и, следовательно, равна 4+5+6. Аналогично, соседняя группа из 16 должна быть 9+7. Четыре ячейки в верхней правой группе (дающие в сумме 15) могут содержать только одну из цифр 1, 3, 7 или 9 (если вообще), из-за наличия 1, 3, 7 и 9 в верхней правой нонете. Если одна из цифр 1, 3, 7 или 9 присутствует, то она должна быть единственным квадратом в нонете ниже. Таким образом, эти четыре ячейки могут быть либо 1+2+4+8, либо 2+3+4+6. Две ячейки в середине левого края должны быть либо 1+5, либо 2+4; и так далее.
Пример правила 45
Если посмотреть на несет в левой части по центру, мы можем увидеть, что есть три клетки, которые не выходят за пределы этого несета; они в сумме дают 33, а значит, сумма двух оставшихся клеток должна быть 12. Это не кажется особо полезным, но стоит учесть, что клетка в правом нижнем углу несета входит в состав группы из 6, сумма которой равна 3; следовательно, она может содержать только 1, 2 или 3. Если бы она содержала 1 или 2, то в другой клетке должно было бы быть соответственно 11 или 10, что невозможно. Значит, она должна содержать 3, а другая клетка – 9.
Дополнения
С 6-клеточными, 7-клеточными или 8-клеточными клетками сопоставление комбинаций с их 3-клеточными, 2-клеточными или 1-клеточными дополнениями обычно упрощает задачу. Таблица для 6-клеточной клетки является дополнением к таблице 3-клеточной клетки, в сумме дающей 45 минус указанное значение; аналогично, таблица 7-клеточной клетки дополняет таблицу 2-клеточной клетки. В 8-клеточной клетке, конечно, отсутствует только одна цифра (45 минус сумма цифр в клетке). Например, дополнение к 7-клеточной клетке с общей суммой 41 – это 2-клеточная клетка с общей суммой 4 (потому что 9–7=2 и 45–41=4). Поскольку 2-клеточная клетка с общей суммой 4 может содержать только 1 и 3, мы заключаем, что 7-клеточная клетка с общей суммой 41 не содержит ни 1, ни 3.