Введение

Модули Вермы, названные в честь Дая Нанд Вермы, являются объектами в теории представления алгебры Льва, ветви математики. Модули Вермы могут использоваться в классификации необратимых представлений сложной полупростой алгебры Ли. В частности, хотя сами модули Вермы имеют бесконечное измерение, их коэффициенты могут быть использованы для построения конечных измерений с наибольшим весом , где доминирующее и интегральное. Их гомоморфизмы соответствуют инвариантным дифференциальным операторам на флагманских многообразиях.

Определение модулей Verma

Существует две стандартные конструкции модуля Вермы, обе из которых включают концепцию универсальной обволакивающей алгебры. Мы продолжаем обозначение предыдущего раздела: это сложная полупростая алгебра Ли, это фиксированная субальгебра Картана, это связанная корневая система с фиксированным набором положительных корней. Для каждого мы выбираем ненулевые элементы и .

Структура модуля Verma

Какой бы конструкции модуля Верма ни использовали, нужно доказать, что он нетривиальный, т.е. не является нулевым модулем. На самом деле, можно использовать теорему Понкаре Биркхофф Витт, чтобы показать, что базовое векторное пространство изоморфно, где субальгебра Ли, генерируемая отрицательными корневыми пространствами (то есть, 's).

Многообразие

Модули Вермы - это модули веса, т.е. это прямая сумма всех его весовых пространств. Каждое весовое пространство в пределах конечной величины, а размер весового пространства - это количество способов выражения как сумма положительных корней (это тесно связано с так называемой функцией разделения Костанта). Это утверждение следует из более раннего утверждения о том , что модуль Вермы изоморфен как векторное пространство для , наряду с теоремой Понкаре Биркхоффа Витта для .

Модуль неснижаемого коэффициента

содержит уникальный максимальный подмодуль, и его коэффициент является уникальным (до изоморфизма) необратимым представлением с наибольшим весом. Если наибольший вес является доминирующим и интегральным, то доказывается, что этот необратимый коэффициент на самом деле имеет конечные измерения. Рассмотрим, к примеру, случай, о котором говорилось выше. Если наибольший вес является "доминирующим интегралом", то это означает, что это неотрицательное целое число, а затем и диапазон элементов инвариантный. Сам модуль Вермы является необратимым, если и только если он является антидоминирующим. Следовательно, когда является интегралом, является необратимым, если и только если ни одна из координат in в основе фундаментальных весов не является из множества , в то время как в целом это условие необходимо, но недостаточно для того, чтобы быть необратимым.

Другие свойства

Модуль Вермы называется регулярным, если его наивысшая масса λ находится на аффинной орбите Вейла доминирующего веса. Другими словами, существует элемент w группы Вейла W, такой, что где аффинное действие группы Вейла. Модуль Вермы называется сингулярным, если на аффинной орбите λ нет доминирующего веса. В этом случае существует вес, который находится на стене фундаментальной камеры Вейла (δ - сумма всех фундаментальных весов).